3.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнения Максвелла в дифференциальной формевыполняются в любой (не особой)точке пространства.

. (3.7)

. (3.8)

. (3.9)

. (3.10)

Первое (3.7) и второе (3.8) уравнения Максвелла выводятся из (3.1) и (3.2) соответственно с использованием формулы Стокса (2.12). Например, для (3.1):

. (3.11)

После преобразования левой части (3.1) получаем интегралы по одной и той же поверхности, что позволяет приравнять подынтегральные функции. После выполнения предельного перехода при S0 получаем (3.7).

Аналогичным образом выводится (3.8). Операции интегрирования и дифференцирования у непрерывной функции можно менять местами.

Обратный переход к (3.1) и (3.2) от (3.7) и (3.8) выполняется интегрированием последних по площади, охватываемой замкнутым контуром, и преобразованием ротора по формуле Стокса (2.12).

Первое уравнение Максвелла вдифференциальнойформе показывает, чтовихревое магнитное полесоздается какплотностью тока() проводимости, так и тока смещения.

Второе уравнение Максвелла вдифференциальнойформе показывает, чтовихревое электрическое полесоздаетсяизменением во времени индукции магнитного поля.

Третье (3.9) и четвертое (3.10) уравнения Максвелла выводятся из (3.3) и (3.4) соответственно с использованием формулы Остроградского-Гаусса (2.11).

Например, для (3.3) после преобразования левой части по (2.11):

. (3.12)

После предельного перехода при V0 получаем (3.9).

Обратный переход к (3.3) и (3.4) от (3.9) и (3.10) выполняется интегрированием последних по объему V, охватываемому замкнутой поверхностьюS, и преобразованием дивергенции по формуле Остроградского-Гаусса (2.11).

Третьеичетвертоеуравнения Максвелла вдифференциальнойформе показываютналичие носителейуэлектрическогополя (3.9) иотсутствие носителейумагнитногополя (3.10).

В случае появления стороннихвеличин (j_ст,_сти т. п.) они суммируются с соответствующими величинами системы уравнений Максвелла.

3.3. Уравнение непрерывности

Уравнением непрерывностиназываютдифференциальную форму закона сохранения заряда :

. (3.13)

Из (3.13) следует, что в точках, являющихся источникамиj_пр, происходитубывание заряда[8]. Уравнение непрерывности выводится из закона сохранения заряда[5, 8]после преобразования левой части по теореме Остроградского-Гаусса (2.11) и правой части по (3.3) или (1.1).

Кроме того, (3.13) можно вывести из (3.7), применив операцию «div» :

. (3.14)

После преобразования левой части по (2.15), замены порядка выполнения операции дифференцирования по времени и дивергенции в правой части и применения затем (3.9) мы получим уравнение непрерывности.

Без введения тока смещения(3.13) и уравнения системы Максвелла в дифференциальной форме не выполняются.

Если приравнять нулю ток смещения в (3.1), то получается, что если контур Lне охватывает провода с током, то . Аналогично с (3.7), еслиj_пр=0, то из (3.14) следует, что всегда. В обоих случаях явно не хватает слагаемого для случая переменного тока. Введение Максвеллом тока смещения сняло указанные противоречия при соблюдении (3.13)[8].