- •Омский государственный технический университет
- •Список сокращений и обозначений
- •Краткая история развития теории эмп
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля
- •2. Описание свойств векторных полей
- •2.2. Дифференциальные характеристики физических полей
- •Если в какой-либо точке , то в этой точке находится«исток» поля(рис. 2.5). Там, где, – соответственно«сток». На рис. 2.5. Приведена система положительного и отрицательного сосредоточенных зарядов.
- •2.3.Основные теоремы векторного анализа
- •Теорема м. Остроградского – к. Гаусса Данная теорема расширяет понятие дивергенции для конечного объема.
- •Теорема д. Стокса
- •2.4. Оператор набла и оператор п. Лапласа
- •Некоторые тождества и операции второго порядка.
- •2.5. Классификация векторных полей
- •3. Система уравнений Максвелла
- •3.1. Уравнения Максвелла в интегральной форме
- •3.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
- •3.3. Уравнение непрерывности
- •3.4. Уравнения Максвелла в комплексной форме
- •3.5. Тангенс угла диэлектрических потерь. Классификация сред
- •4. Граничные условия для векторов эмп
- •4.1. Нормальные составляющие
- •4.2. Тангециальные составляющие
- •5. Теорема Умова-Пойтинга. Баланс эм энергии.
- •6. Волновые уравнения для векторов эмп.
- •7. Решение волновых уравнений. Плоские волны
- •7.1. Плоские эмв как частные решения волновых уравнений
- •7.2. Коэффициенты затухания и фазы
- •7.3. Параметры эмв
- •8. Плоские эмв в диэлектриках
- •8.1. Параметры эмв в диэлектриках с потерями
- •8.2. Поведение диэлектриков в эмп
- •8.3. Поглощение эмп веществом. Диэлектрический нагрев
- •9. Эмп в проводниках. Скин-эффект
- •9.1. Сопротивление проводников на высоких частотах
- •9.2. Сопротивление цилиндрического проводника (общий случай)
- •9.3. Граничные условия на границе идеального проводника
- •10. Эмв в реальных средах
- •10.1. Общая схема анализа эмв в реальных средах
- •10.2. Поляризация эмв
- •10.3. Классификация эмв
- •11. Скалярный и векторный потенциалы эмп
- •11.1. Волновые уравнения для электродинамических потенциалов. Условия калибровки Лоренца и Кулона
- •11.2. Электродинамические потенциалы в безграничном пространстве
- •12. Классификация эмп
- •12.1. Электростатическое и магнитостатическое поля
- •12.2. Стационарное и квазистационарное эмп
- •12.3. Эмп для весьма высоких частот
- •13. Эмв на границе раздела сред
- •13.1. Наклонное падение эмв. Законы Снеллиуса
- •13.2. Коэффициенты отражения и преломления.
- •13.3. Формулы Френеля
- •13.4. Явление полного отражения
- •13.5. Явление полного прохождения
- •13.6. Стоячая волна. Ксв. Кбв
- •14. Связь между продольными и поперечными составляющими эмп
- •Аналогично получается для магнитной составляющей:
- •15. Телеграфные уравнения. Волновые уравнения для напряжения и тока
- •Приложение 1. Некоторые понятия векторной алгебры
- •Приложение 2. Криволинейные системы координат
- •Операции векторного анализа в цск и сск.
- •Приложение 3. Эм параметры некоторых веществ Параметры диэлектриков (при 20с) [5, 19]
- •Параметры проводников
- •Параметры магнитномягких материалов [5]
- •Приложение 4. Некоторые сведения о волновых уравнениях
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя
- •Список литературы
- •Оглавление
- •1. Основные понятия теории электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . .
- •Приложение 5. Некоторые сведения о функциях Бесселя . . . . . . . . . .
Теорема д. Стокса
Данная теорема позволяет рассчитывать циркуляцию вектора по контуру конечной длины с помощью ротора этого вектора.
Циркуляция векторного поля по замкнутому положительно ориентированному контуруL равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность S, опирающуюся на данный контур :
. (2.12)
Для доказательства теоремы рассмотрим контур с охватываемой им площадью (рис. 2.6). Весь контур разбивается на элементарные контуры той же ориентации (рис. 2.10).
Циркуляция по элементарному контуру равна .
Все смежные контура (1и2на рис. 2.10) имеют такую особенность: на общей границе при том же значении поля вклад в циркуляцию по каждому из смежных контуров будет происходить с изменением знака (для контура1-ab, а для2- ba). В результате вклад в циркуляцию всех внутренних участков контуров взаимно компенсируется, и нескомпенсированными останутся только участки принадлежащие контуруL, что в итоге дает (2.12) [8].
Частным случаем (2.12) в случае расположения контура на плоскости является формула Д. Грина (М. Остроградского- Д. Грина [9]):
. (2.13)
Формулы (2.12) и (2.13) позволяют свести вычисление криволинейного интеграла второго рода к вычислению двойного интеграла по области S.
Обратный переход по (2.12) осуществляется аналогично (2.8).
2.4. Оператор набла и оператор п. Лапласа
Написание формул векторного анализа упрощается при использовании оператора набла (оператора У. Гамильтона), представляющего собой вектор . Сам по себе этот вектор смысла не имеет, но позволяет компактно записать формулы (2.3), (2.5) и (2.9):
; ;. (2.14)
Кроме того, оператор набла позволяет упростить вычисление дифференциальных операторов более высоких порядков.
Следует отметить, что с следует обращаться осторожно, а при его использовании нужно помнить о том, что данный оператор является не только векторным, но и дифференциальным.
Например, найдем . С помощью получаем . По правиламдифференцирования произведения оператор действует сначала на первый множитель, а затем на второй: . В результате получаем. Процедура вычисления через координаты вектора потребовала бы на порядок больше операций.
Попробуйте получить самостоятельно не включенную в (2.15) формулу для разложения . Правильный ответ приведен в концеприложения 1.
Некоторые тождества и операции второго порядка.
; ;
; ;
; ;
; . (2.15)
Оператор Лапласа(, лапласиан) является оператором второго порядка.
. (2.16)
Как и , применяется как к скаляру, так и к вектору.
. (2.17)
. (2.18)
В случае декартовой системы координат (2.18) упрощается [2]:
. (2.19)
Сведения о часто применяемых в теории ЭМП криволинейных системах координат (цилиндрической и сферической) и векторных операциях в них приведены в Приложении 2.
2.5. Классификация векторных полей
Векторное поле задано однозначно, если известны его ротор и дивергенция как функции пространственных координат.
В зависимости от значений данных функций различают потенциальное, вихревое (соленоидальное) поле и поле общего типа [2].
Векторное поле потенциально, если существует некоторая скалярная функцияU, которая связана сследующим образом:. ФункциюU называютскалярным потенциалом поля.
Необходимым и достаточным условием потенциальностиявляетсяравенство ротора нулю ().
Соленоидальным(вихревым) называется векторное поле, в каждой точке которого(необходимое и достаточное условие),.
Соленоидальное векторное поле можно представить как. В этом случае векторную величинуназываютвекторным потенциалом поля ().
Название поля данного типа можно объяснить тем, что оно было обнаружено в соленоиде, – катушке индуктивности (она может быть как с сердечником, так и без сердечника), длина которой значительно превышает диаметр.
Если у векторного поля и, то это –поле общего типа.
Произвольное векторное поле общего типа можно представить в виде суммы потенциальной и вихревой частей: , – где ввключеныисточники поля(), а в–вихри поля()[2].
Теперь, после изучения интегральных и дифференциальных операций и основных теорем векторного анализа, можно приступить к изучению базиса теории ЭМП – системы уравнений Максвелла.