12.2. Стационарное и квазистационарное эмп

В отличие от электростатического поля стационарное электрическое поле существует не только в диэлектрике, но и в проводнике при наличии постоянного тока проводимости. Уравнения стационарного электрического поля похожи на уравнения электростатического поля (=const):

,;. (12.16)

Потенциал стационарного поля определяется уравнением Пуассона (11.11).

Объемная плотность заряда выражается формулой:

. (12.17)

Из (12.16) следует, что объемные электрические заряды могут существовать только в тех областях проводящей среды, где отсутствуют сторонние токи.

На границе раздела двух проводящих сред линии тока преломляются в соответствии с граничным условием (4.3) [2] :

; . (12.18)

Если проводимости сред различаются сильно (₂>>₁), то в слабо проводящей среде проходит практически по нормали, независимо от расположения вектора плотности тока в среде с большей проводимостью. В таком случае поверхность металлических тел, находящихся в диэлектрике, можно считать эквипотенциальной (=const).

В некоторых случаях для стационарного электрического поля в области свободной от сторонних зарядов и токов применим метод электростатической аналогии, который позволяет свести задачу стационарного электрического поля к задачам электростатики. В этом случае граничные условия для составляющих вектора плотности тока аналогичны граничным условиям для вектора электрической индукции. Переход к уравнениям электростатики для систем с одинаковыми геометрическими размерами осуществляется с помощью следующей замены переменных [11] :

;;;. (12.19)

Метод электростатической аналогии используется при анализе ЭМП линий передачи с Т-волной (коаксиальная линия и т. п.). С другой стороны электростатическая аналогия позволяет экспериментально исследовать сложные электростатические поля с помощью их моделирования в ванне со слабо проводящей жидкостью (электролитом) [2, 11].

Уравнения стационарного магнитного полязаписываются в виде:

;. (12.20)

В (12.20) уже заметна связь между электрическим и магнитным полями.

Наиболее распространенной задачей является определение стационарного магнитного поля по заданному распределению токов. Для изотропной линейной однородной среды анализ ЭМП удобно проводить с помощью .

Для векторного потенциала стационарного магнитого поля условие калибровки (11.6) и волновое уравнение (11.7) записываются в виде:

,. (12.21)

Решение (12.21) относительно A(r) соответствует решению волнового уравнения Гельмгольца при k=0 :

. (12.22)

В простых случаях при наличии симметрии поля более удобным может оказаться прямой расчет по (3.4).

Например, магнитное поле круглого провода с током и коаксиальной линии в силу цилиндрической симметрии удобно находить именно по (3.4).

Контур интегрирования удобно совмещать с векторными линиями .

Для круглого провода радиусаа с электрическим током I:

. (12.23)

График распределения магнитного поля в проводнике H(r)приведен на рис. 12.3.

Для коаксиальной линии передачи (рис. 12.2) :

. (12.24)

График распределения магнитного поля в коаксиальной линии приведен на рис. 12.4. Вывод данных формул, а также другие примеры стационарных магнитных полей можно найти в [2-5, 11].

Энергия стационарного магнитного поля:

. (12.25)

Сравнивая с (12.6) можно заметить определенное сходство уравнений стационарного магнитного поля с уравнениями электростатики.

Полную энергию стационарного магнитного поля системы из n контуров с токами удобно выражать через токи и индуктивности (см. пояснение к (9.18)):

, (12.26)

где – потокосцеплениеk-го контура, – собственная индуктивность k-го контура, – взаимная индуктивность j-го и k-го контуров [2].

Первое слагаемое (12.26) представляет сумму собственных энергий магнитных полей контуров, а второе слагаемое (12.26) – взаимную энергию магнитных полей создаваемых токами в данных контурах.

С помощью анализа запаса магнитной энергии в системе можно вычислять индуктивность проводников и линий передачи Т-волны.

Магнитный поток, проходящий через поперечное сечение линии передачи удобно разложить на внутренний и внешний. Внутренний поток, проходящий внутри проводников, связан с собственными индуктивностями проводников.

Внешний магнитный поток определяется линиями во внешней по отношению к проводникам среде [5] и связан с взаимной индуктивностью.

Например, погонная индуктивность коаксиальной линии передачи (рис. 12.2) при постоянном токе определяется формулой (₁ –  диэлектрика, а ₂ –  проводников) [4, 11]:

. (12.27)

Первое слагаемое (12.27) соответствует взаимной индуктивности проводников, а второе – собственной индуктивности. Обычно в справочниках приводится формула (12.28), соответствующая току высокой частоты:

. (12.28)

следует помнить о том, что в данной формуле _a– это абсолютная магнитная проницаемостьдиэлектрика.

Аналогичным образом вычисляется индуктивность двухпроводной линии передачи (рис. 12.1) (₁ –  диэлектрика, а ₂ –  проводников) [5] :

. (12.29)

Первое слагаемое (12.29) соответствует взаимной индуктивности проводников, а второе – собственной индуктивности двух цилиндрических проводников. Обычно в справочниках приводится формула (12.30), соответствующая переменному току высокой частоты [4, 5, 11] :

. (12.30)

При анализе многосвязных линий передачи Т-волны (количество проводников в данных линиях больше двух) и соединений с их использованием составляют матрицы взаимных емкостей и индуктивностей проводников линии на основании (12.6) и (12.26).

Квазистационарным ЭМП в области V называют ЭМП, для которого можно пренебречь волновым характером. Для квазистационарного поля время, в течение которого источники поля успевают заметно измениться, велико по сравнению со временем запаздывания волнового фронта (l/v). (l – расстояние в области V, которое со скоростью v проходит распространяющаяся ЭМВ.)

Время запаздывания – это время, необходимое для распространения ЭМ возмущения от одного конца системы до другого [2].

Для квазистационарного ЭМП справедливы следующие соотношения:

,. (12.31)

В случае монохроматических колебаний плоская волна превращается в колебание во времени : cos [(t-l/v)] = cos (t), откуда следует еще одно условие квазистационарности поля: l/v<<1  l<<.

Таким образом, при монохроматических процессах ЭМ системы можно исследовать с помощью законов квазистационарного ЭМП в тех случаях, когда их протяженность много меньше длины волны [2].

Быстропеременное ЭМП описывается системой уравнений Максвелла без каких-либо упрощений, характеризуется глубокой взаимосвязью между электрическими и магнитными явлениями и имеет волновой характер.