1.4. Квадратичные формы.

  ЗАДАНИЕ N 25 сообщить об ошибке Тема: Квадратичные формы Матрице   соответствует квадратичная форма  , равная …

Решение: Слагаемые из формы можно представить в виде  . Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что  , поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по  . Соответственно коэффициенты формы при квадратах неизвестных, то есть   , записываются на главной диагонали. Для данной формы элементы матрицы  . Следовательно, заданная квадратичная форма имеет вид  .

  ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке Тема: Квадратичные формы Матрица квадратичной формы имеет вид …

Решение: Матрица квадратичной формы симметрична относительно главной диагонали. Слагаемые из формы можно представить в виде  . Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что  , поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по  . Соответственно коэффициенты формы при квадратах неизвестных, т.е.  , записываются на главной диагонали. Для данной формы элементы матрицы    Следовательно, заданная квадратичная форма описывается матрицей 

  ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке Тема: Квадратичные формы Отрицательно определенная квадратичная форма может иметь вид …

Решение: Квадратичная форма L называется отрицательно определенной, если при всех значениях переменных   , из которых хотя бы одно отлично от нуля, 1) Для квадратичной формы   характеристическое уравнение   имеет положительный и отрицательный корни   Следовательно, квадратичная форма   является знаконеопределенной. 2) Для квадратичной формы   характеристическое уравнение   имеет положительный и отрицательный корни   Следовательно, квадратичная форма   является знаконеопределенной. 3) Для квадратичной формы   характеристическое уравнение   имеет положительный и отрицательный корни   Следовательно, квадратичная форма   является знаконеопределенной. 4) Для квадратичной формы   характеристическое уравнение   имеет отрицательные корни   Следовательно,   является отрицательно определенной квадратичной формой.

 ЗАДАНИЕ N 32 сообщить об ошибке Тема: Квадратичные формы Положительно определенная квадратичная форма может иметь вид …

  ЗАДАНИЕ N 14 сообщить об ошибке Тема: Квадратичные формы Квадратичная форма, не являющаяся знакоопределенной, может иметь вид …

Решение: Квадратичная форма L называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных   , из которых хотя бы одно отлично от нуля,    1) Для квадратичной формы   характеристическое уравнение   имеет положительные корни   Следовательно, квадратичная форма   является знакоположительной. 2) Для квадратичной формы   характеристическое уравнение   имеет отрицательные корни   Следовательно, квадратичная форма   является знакоотрицательной. 3) Для квадратичной формы   характеристическое уравнение   имеет отрицательные корни   Следовательно, квадратичная форма   является знакоотрицательной. 4) Для квадратичной формы   характеристическое уравнение   имеет положительный и отрицательный корни   Следовательно, квадратичная форма   не является знакоопределенной.

  ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке Тема: Квадратичные формы Канонический вид квадратичной формы может иметь вид …

Решение: Приведем квадратичную форму к каноническому виду:  ; введем замену  ,   и  ; получим канонический вид:  .

ДЕ 2. Аналитическая геометрия

2.1. Полярные координаты на плоскости

2.2. Прямая на плоскости

2.3. Кривые второго порядка

2.4. Плоскость в пространстве