1. Знайти область визначення функції:

z=.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

z=- , y=cost, x=sint.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

σ: z=x²-у²-2xy-x-2y, M₀(-1,1,1).

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння:

=2z , z=(x²+y²) tg.

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

z=3x²+3y²- 2x-2y+2; : x=0, y=0, x+ y–1=0.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

a) S: y= 20-x², y=-8x;

b) S: x²- 2x+y²=0, x²-6x+y²=0, y=0, y=x.

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

D: x=2, y≥0, y²=, ρ=2x+3y².

9. Знайти об'єм тіла V:

, .

10. Знайти масу тіла V:

x²+y²+z²=4, x²+y²=9z², x≥0, y≥0, (z≥0), .

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

V: 2z=x²+y², z=2, Оz.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB - частина кола від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) , - частина площини x+4y-2z=8, отримана в перетині з координатними площинами.

б) , - зовнішня сторона поверхні z=3-x²-y², що лежить у першому октанті.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) =xyz-x²z+3, - частина поверхні y²+z²=х² в перетині з площинами x=-2, x=0;

б) =(x+y+z)+(2y-x)+(3z+y), - замкнена поверхня y=x, y=2x, x=1, z=x²+y², z=0.

ВАРІАНТ 21

1. Знайти область визначення функції:

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

.

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння

.

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

.

9. Знайти об'єм тіла V:

.

10. Знайти масу тіла V:

.

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB - частина евольвенти кола від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса:

.

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) , - частина площини , отримана в перетині з координатними площинами;

б) - зовнішня сторона поверхні , що лежить у першому октанті.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) - частина поверхні в перетині з площинами z=0, z=-1;

б) - замкнена поверхня

ВАРІАНТ 22

1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

.