-
Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:
σ: x2 +y2+z2-6y+4z+4=0, M0(2,1,-1).
-
Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння:
,
z=
.
-
Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області
:
z=x2+y2-2х-2y+8;
:
x=0, y=0, x+ y-1=0.
-
Змінити порядок інтегрування:
.
-
Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:
a) S:
x=16;
б) S: y2-4у+x2=0,
y2-8y+x2=0,
y=
x, x=0.
-
Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:
D: x2+y2=1,
x2+y2=16,
x≥0, y≥0, ρ=
.
-
Знайти об'єм тіла V:
z=
, 12 z= x2+y2.
-
Знайти масу тіла V:
V: x2+y2=
, x2+y2=
, x≥0, y≥0, ρ=80yz.
-
Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:
V: y=4(x2+z2), y=5, oy.
12. Обчислити криволінійні інтеграли:
а)
;
б)
.
Тут АВ частина циклоїди
від точки А
до точки В
.
13. Перейшовши до параметричного
задання контура L,
визначити роботу сили
при переміщенні точки вздовж кривої L.
Перевірити результат обчислення
за допомогою теореми Стокса:
.
14. Обчислити поверхневі інтеграли:
а)
,
- частина площини x+y+z=2,
отримана в перетині з
координатними площинами;
б)
,
- внутрішня сторона
поверхні x2+y2=4-z
в перетині з z=0.
15. Знайти потік векторного
поля
через зовнішню сторону
поверхні σ:
а)
=(x+xz2)
+y
+(z-zx2)
,
- частина поверхні y2+
x2+
z2=9
в перетині з площинами y=0,
y=-3;
б)
=(2y-15x)
+(z-y)
-(x-3y)
,
- замкнена поверхня z=3x2+y2+1,
z=0,
x2+y2=
.
ВАРІАНТ 28
-
Знайти область визначення функції
.
-
Визначити похідну складеної функції за аргументом t:
z=arctg(x+y), x=t2+2,
.
-
Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:
σ: 2x2 -y2+z2-4z+y=13, M0(2,1,-1).
-
Перевірити, чи є функція z=f(x,y) розв`язком диференціального рівняння:
,
z=
.
-
Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області
:
z=x2+2
xy - y2-4x,
:
x-y+1=0, x=3, y=0.
-
Змінити порядок інтегрування:
.
-
Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:
a) S:
y=3, y=8;
б) S: x2-4х+y2=0,
x2-6x+y2=0,
y=
.
-
Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:
D: x=2, y≥0,
y2=2x,
ρ=
.
-
Знайти об'єм тіла V:
,
.
-
Знайти масу тіла V:
V: x2+y2+z2=16,
x2+y2
4,
.
-
Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:
V: x2=y2+z2, y2+z2 =1, x=0, ox.
12. Обчислити криволінійні інтеграли:
а)
;
б)
.
Тут AB - частина астроїди
,
від точки А
до точки В
.
13. Перейшовши до параметричного
задання контура L,
визначити роботу сили
при переміщенні точки вздовж кривої L.
Перевірити результат обчислення
за допомогою теореми Стокса:
.
14. Обчислити поверхневі інтеграли:
а)
,
- частина площини x+y+2z=2,
отримана в перетині з
координатними площинами;
б)
,
- зовнішня сторона нижньої
півкулі радіусом 3 з центром у точці
О(0,0,0).
15. Знайти поток векторного
поля
через зовнішню сторону
поверхні σ:
а)
- частина поверхні y2+
x2=100
в перетині з площинами z=10,
z=15;
б)
=(y+z)
+(x-2y+z)
+x
,
- замкнена поверхня x2+y2
=1, z=x2+y2,
z=0.
ВАРІАНТ 29