1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

, x=lnt, y=t³.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

s: x²+y²+z²+6y+4x=8, M_o(-1, 1, 2).

4. Перевірити, чи є функція z=f(x, y) розв`язком диференціального рівняння:

, .

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

; x=0, x=1, y=0, y=1.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

   1. S: x= 8-y², x=-2y;

б) S: y²-2у+x²=0, y²-10y+x²=0, y= , x=0.

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

D: x²+y²=9, x²+y²=16, x , y , .

9. Знайти об'єм тіла V:

, 9z=x²+y².

10. Знайти масу тіла V:

V: x²+y²+z²=9, x²+y²≤ 4, y  0, ρ =| z |.

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

V: z=2(x²+y²), z=5, Oz.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB - частина кола від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а), - частина площини 3x+2y+2z=6, отримана в перетині з координатними площинами;

б) , - внутрішня сторона поверхні x²+y²=4 між площинами z=1, z=8.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) , - частина поверхні x²+y²=z² в перетині з площинами z=-10, z=0;

б) , - замкнена поверхня z= x²+y², z=2y.

ВАРІАНТ 30

1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

z=arctg(xy), x=t+3, y=e^t.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

s: x²+y²+z²-ху+3z=7, M₀(1, 2, 1).

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння

, z = ln(x²-у²).

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

z=x²+2 xy -4x+8y ; x=0, x=1, y=0, y=2.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

   1. S: x²+y²=72, 6y=-x² (y≤ 0);

б) S: x²-6x+y²=0, х²-10х+y²=0, , y=.

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

D: x=1, y , y²=4x , .

9. Знайти об'єм тіла V:

, .

10. Знайти масу тіла V:

V: x²+y²=1, x²+y²=2z, x≥ 0, y≥ 0, z=0, .

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

V: z= 3-x²-y², z=0, Oz.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB - частина гвинтової лінії , від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) , - частина площини 3x+3y+z=3, отримана в перетині з координатними площинами;

б) - внутрішня сторона поверхні x²+y²=1+z² між площинами z=3, z=5.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) , - частина поверхні x²+y² +z²=16 в перетині з площинами x=0, x=-4;

б) , - замкнена поверхня y=2x, y=4x, x=1, z=y², z=0.

199