Умови обов'язкового домашнього завдання 2

ВАРІАНТ 1

1. Знайти область визначення функції: .

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння

.

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

.

9. Знайти об'єм тіла V:

.

10. Знайти масу тіла V:

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB - частина евольвенти кола від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) - частина площини x+3y+z=3, отримана в перетині з координатними площинами.

б) - зовнішня частина поверхні в перетині з площиною х=0.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) - частина поверхні отримана в перетині з площинами z=0, z=2;

б)

- замкнена поверхня .

ВАРІАНТ 2

1. Знайти область визначення функції

z = arcsin (x-y)

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

, y = t³.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

: x² + z² – 4y² = – 2xy, M_o (-2, 1, 2).

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння

, .

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

z = xy – x – 2y , D: x = 3, y = x, y = 0.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

a) ;

б) S: x²- 4x + y² = 0, x² – 8x + y² = 0, y= 0, .

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

D: x² + y² = 1, x² + y² = 4, x , y ; .

9. Знайти об'єм тіла V:

, .

10. Знайти масу тіла V:

V: x²+y² + z² =4, x² + y² , x 0, .

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

V: x = y² + z² , x = 2, Ox.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут АВ - частина циклоїди від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) - частина площини 2x-y-2z=-2, отримана в перетині з координатними площинами;

б) - зовнішня частина поверхні в перетині з площиною у=0.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) - частина поверхні отримана в перетині з площинами z=10, z=11;

б) - замкнена поверхня .

ВАРІАНТ 3

1. Знайти область визначення функції:

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

z = y^x, x= ln(t-1) , .