-
Знайти область визначення функції:
z=
.
-
Визначити похідну складеної функції за аргументом t:
z = ln( e-х+4e-2у)
, x=t2,
y=
t3.
-
Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:
σ: 2x2-у2+2z+yx+xz=3, M0(1,2,1).
-
Перевірити, чи є функція z=f(x,y) розв`язком диференціального рівняння
+
=0 ; z= ln(x2+y2+2x+1).
-
Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області
:
z=2x2+2xy-
-4x
:
y=2x, y=2, x=0.
-
Змінити порядок інтегрування:
.
-
Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:
a) S: x2+y2=36,
3
y=x2,
y≥0;
б) S: x2-2х+y2=0,
x2-4х+y2=0,
y=0; y=
.
-
Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:
D: x=1, y≥0, y2=4x, ρ=7x2+2y.
-
Знайти об'єм тіла V:
z=
, z=
.
-
Знайти масу тіла V:
V: x2+y2=z2,
x2+y2=4,
x≥0, y≥0, z≥0 ; ρ=
.
-
Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:
V: x2=y2+z2, x=4, ox.
12. Обчислити криволінійні інтеграли:
а)
;
б)
.
Тут AB - частина евольвенти
кола
від точки А
до точки
.
13. Перейшовши до параметричного
задання контура L,
визначити роботу сили
при
переміщенні точки вздовж кривої L.
Перевірити результат обчислення
за допомогою теореми Стокса:
.
14. Обчислити поверхневі інтеграли:
а)
,
- частина площини x+2y+2z=2,
отримана в перетині з
координатними площинами;
б)
,
- внутрішня сторона
поверхні x2+y2
+z2=1
в перетині з площиною
x=0.
15. Знайти потік векторного
поля
через зовнішню сторону
поверхні σ:
а)
=(x-y)
+(x+y)
+z2
,
- частина поверхні x2+y2=36,
в перетині з площинами z=6,
z=3;
б)
=(y+6x)
+5(x+z)
+4y
,
- замкнена поверхня y=x,
y=2x,
y=2,
z=x2+y2,
z=0.
ВАРІАНТ 17
-
Знайти область визначення функції
z = arccos (x+2y).
-
Визначити похідну складеної функції за аргументом t:
z=
, x=lnt, y=t2.
-
Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:
σ: z=x2+y2-3yx-x+y+2, M0(2,1,0).
-
Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння
x
+y
+z=0; z=
.
-
Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області
:
z=3x2+3y2-x-у+1;
:
x=5, y=0, x-y-1=0.
-
Змінити порядок інтегрування:
.
-
Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:
a) S: y=
, y=5ex,
y=2, y=5;
б) S: y2-2у+x2=0,
y2-10у+x2=0,
y=
; y=
.
-
Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:
D: x2+y2=9;
x2+y2=16,
x≤0, y≥0, ρ=
.
-
Знайти об'єм тіла V:
z=
, 18z=x2+y2.
-
Знайти масу тіла V:
V: 9(x2+y2)=z2,
x2+y2=4,
x1≥0, y≥0, z≥0, ρ=
(x2+y2).
-
Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:
V: x2=y2+z2, x=7, ox.
12. Обчислити криволінійні інтеграли:
а)
;
б)
.
Тут АВ - частина циклоїди
від точки А
до точки В
.
13. Перейшовши до параметричного
задання контура L,
визначити роботу сили
при
переміщенні точки вздовж кривої L.
Перевірити результат обчислення
за допомогою теореми Стокса:
.
14. Обчислити поверхневі інтеграли:
а)
,
- частина площини x-2y+2z=2,
отримана в перетині з
координатними площинами;
б)
,
- внутрішня сторона
поверхні z2
=x2+y2
в перетині з площинами
z=2, z=5.
15. Знайти потік векторного
поля
через зовнішню сторону
поверхні σ:
а)
=(xz+y)
+(yz-x)
+(z2-2)
,
- частина поверхні y2+
z2=x2
в перетині з площинами
x=0, x=2;
б)
=y
+5y
+z
,
- замкнена поверхня x2+y2=1,
z=x,
z=0
(z≥0).
ВАРІАНТ 18