1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

, .

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння

.

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

.

9. Знайти об'єм тіла V:

.

10. Знайти масу тіла V:

.

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB - частина кола від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) , - частина площини 2x+2y+z=4, отримана в перетині з координатними площинами;

б) - зовнішня сторона поверхні x+y-z=4, отримана в перетині з координатними площинами.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) - частина поверхні в перетині з площинами z=4, z=0;

б) - замкнена поверхня .

ВАРІАНТ 11

1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

, x=cost, y=sin2t.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

σ: x²+2y²+z²-4хz=8, M₀(0,2,0).

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння

x +y = z; z =x ln.

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

z=x³+y³- 3xy; : x=0, x=2, y= -1, y=2.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

a) S: y= , y=7e^x, y=2, y=7;

б) S: y²- 2y+x²=0, y²-4у+x²=0, y=, x=0.

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

x²+y²=1; x²+y²=9, x≥0, y≤0; ρ=.

9. Знайти об'єм тіла V:

z= , z=.

10. Знайти масу тіла V:

V: x²+y²=1, x²+y²=z, x≥0, y≥0, z=0 .

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

V: y²=x²+z², x²+z²=4, y=0, Оy.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB - частина евольвенти кола від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) - частина площини 2x+3y+z=6, отримана в перетині з координатними площинами;

б) , - зовнішня сторона поверхні x²+y²+z²=1, що лежить у першому октанті .

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) =xz+yz+(z²-1), - частина поверхні x²+z²=y² в перетині з площинами у=0, у=1;

б) =8x-2y+x, - замкнена поверхня x+y=1, x=0, y=0, z=x²+y², z=0.

ВАРІАНТ 12