1. Знайти область визначення функції

z=arcsin.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

z = , x= 1-2t, y = arctgt.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

σ: x²+y²-z²+xz+4y=4, M₀(1,1,2).

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння

x² -2xy +y² +2xyz=0, z=e^xy.

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

z= xy-3x-2y; : x=0, x=4, y=0, y=4.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

a) S: y= 6-, y=, x≥0;

б) S: x² -2x+y²=0, x²-8 x+y²=0, y=; y=.

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

D: x=2, y²=2x; y≥0, ρ=.

9. Знайти об'єм тіла V:

z= , z=4, x²+y²≤39.

10. Знайти масу тіла V:

V: x²+y²+z²=4, x²+y²≤1, .

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

V: 2y=x²+z², y=2, Oy.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB - частина гвинтової лінії , від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) , - частина площини 3x-2y+2z= 6, отримана в перетині з координатними площинами.

б) , - зовнішня сторона поверхні z= x²+y² в перетині з площиною z=4.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) , - частина поверхні x²+z²=y² в перетині з площинами y= -3, y=0;

б) =(z+y)+(x-z)+z, - замкнена поверхня x²+4y²=4; 3x+4y+z=12, z=1.

ВАРІАНТ 15

1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

z= , x=e^t, y= 2-e^2t.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

σ: x²-у²+z²-4x+2y=14, M₀(3,1,4).

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння

=0, z = arctg.

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

z = x²- 2xy+ -2x; : x=0, x=2, y=0, y=2.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

a) S: y=3 , y= , x=4;

б) S: y²-2y+x²=0, y²-6y+x²=0, y = , x=0.

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

D: x²+y²=1; x²+y²=16, x≥0, y≥0; ρ=.

9. Знайти об'єм тіла V:

, z=x²+y².

10. Знайти масу тіла V:

V: x²+y²=4, x²+y²=8z, x≥0, y≥0, z=0; ρ=5x.

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

V: z= 9-x²-y², z=0, Оz.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB частина кола від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) , - частина площини x-y+z=2, отримана в перетині з координатними площинами;

б) , - внутрішня сторона поверхні 9-z=x²+y² в перетині з площиною z=0.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) =(x+xy)+(y-x²)+z, - частина поверхні x²+y²+z²=16 в перетині з площинами z=0, z=4.

б) =(y+2z)-y+3x, - замкнена поверхня 3z=27-2(x²+y²), z²=x²+y², (z≥0).

ВАРІАНТ 16