1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

z=x²e^y, x=cost, y=sint

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

: z= x²+y²-4xy+3 x-15, M_o(-1, 3, 4).

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком диференціального рівняння

, .

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

z =5x²-3xy+y²+4; , x=1, y=-1, y=1.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

a) S: , y=6e^x, y=1, y=6;

б) S: , y= , y=.

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

D: x²+y²=4, x²+y²=9, x, y; .

9.Знайти об'єм тіла V:

, .

10. Знайти масу тіла V:

x²+y²+z²=4, x²+y²=4z², x, y, (z), = 10z.

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

V: z²=x²+y², z=3, oz.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB - частина гвинтової лінії , від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) , - частина площини x+y+2z=2, отримана в перетині з координатними площинами;

б) , - зовнішня частина поверхні z=x²+y², в перетині з площиною z=2.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) , - частина поверхні x²+y²=z² в перетині з площинами z=0, z=-4;

б) , - замкнена поверхня x²+ z²=2y, y=2.

ВАРІАНТ 6

1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

.

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

.

9. Знайти об'єм тіла V:

.

10. Знайти масу тіла V:

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB - частина евольвенти кола від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) , - частина площини x+2y+2z=2, отримана в перетині з координатними площинами;

б) - зовнішня частина поверхні в перетині з площиною z=0, z=1.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) - частина поверхні в перетині з площинами z=2, z=0;

б) - замкнена поверхня .

ВАРІАНТ 7

1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

.