3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком диференціального рівняння

.

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

.

9. Знайти об'єм тіла V:

.

10. Знайти масу тіла V:

.

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут АВ – частина циклоїди від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) - частина площини 3x+2y+z=6, отримана в перетині з координатними площинами;

б) - внутрішня поверхня в перетині з площиною х=0.

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) - частина поверхні в перетині з площинами z=3, z=0;

б) - замкнена поверхня .

ВАРІАНТ 8

1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком диференціального рівняння

.

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

.

9. Знайти об'єм тіла V:

.

10. Знайти масу тіла V:

.

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB - частина астроїди , від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) , - частина площини x-y+z=2, отримана в перетині з координатними площинами;

б) - зовнішня поверхня в перетині з площиною .

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) - частина поверхні в перетині з площинами z=-2, z=0;

б) - замкнена поверхня .

ВАРІАНТ 9

1. Знайти область визначення функції

.

2. Визначити похідну складеної функції за аргументом t:

.

3. Знайти рівняння дотичної площини й нормалі до поверхні σ у точці м0:

4. Перевірити, чи є функція z = f(x, y) розв`язком даного диференціального рівняння

5. Дослідити функцію z = f(x; y) на екстремум і знайти найбільше й найменше значення цієї функції в замкненій області :

.

6. Змінити порядок інтегрування:

.

7. Знайти площу фігури S за допомогою подвійного інтеграла:

8. Знайти масу пластини D з поверхневою густиною ρ:

.

9. Знайти об'єм тіла V:

.

10. Знайти масу тіла V:

11. Обчислити момент інерції однорідного тіла V щодо зазначеної осі:

.

12. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) ;

б) .

Тут AB - частина гвинтової лінії , від точки А до точки В.

13. Перейшовши до параметричного задання контура L, визначити роботу сили при переміщенні точки вздовж кривої L. Перевірити результат обчислення за допомогою теореми Стокса: .

14. Обчислити поверхневі інтеграли:

а) , - частина площини x+2y+z=2, отримана в перетині з координатними площинами;

б) - зовнішня сторона правої півкулі з радіусом 2 і центром у точці О(0; 0; 0).

15. Знайти потік векторного поля через зовнішню сторону поверхні σ:

а) - частина поверхні в перетині з площинами z=1, z=0;

б) - замкнена поверхня .

ВАРІАНТ 10