9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

r	r	r
О: Базис a1,	a2, ...,	an называется ортогональным, если век-
торы в нем попарно ортогональны.
Базис называется ортонормированным, если векторы по-
парно ортогональны и единичны.
Так, базис (2.2) является ортонормированным вследствие
		r r ì0,	i ¹ j,
		ei ×ej = í	i = j.
		î1,

Аналогично R3, в евклидовом пространстве Rn вводится пря-

моугольная система координат и координаты точки М определя- uuuur

ются как координаты радиуса-вектора OM (т. О — начало координат).

2.9. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы.

Квадратичные формы в Rn

О: Линейным преобразованием А линейного пространства L
называется закон, по которому каждому вектору									r	Î L ñòà-
									x
вится		â	соответствие			r	r	r		причем
						вектор x	¢Î L : x¢ =	Ax,
r	r	Î L	справедливо
"x,	y
		r	r	r	r	r	r
		A(x	+ y) = Ax		+ Ay,	A(lx) = lA(x), l Î R .

Линейное преобразование А называют также линейным оператором А.

О: Матрицей линейного оператора А в пространстве Rn ñ áà-
r	r	r
зисом e1	, e2, ..., en		называется матрица
			æa	a	...	a n ö
			ç 11	12		1 ÷
		A=	ça21 a22		...	a2n ÷	,			(2.3)
			çç ... ...		...	... ÷÷
			èa1n a2n		...	ann ø
столбцы которой являются координатами образов базисных
векторов
	r		r	r		r
	Aej	= a1 j e1 + a2 j e2			+ ... + anj en, j = 1,n.

"

Равенство	r	r	записывается в R	n	в матричной форме:
	x	¢ = Ax

æ x1¢ ö			æ a11	a12 ...
ç x¢		÷	ça	a	...
ç	2	÷	= ç 21	22
ç	M	÷	ç ... ... ...
è	n	ø	è n1	n2
ç x¢		÷	ça	a	...

a1n a2n

...

ann

	öæ x1	ö
	÷ç	÷
	÷ç x2	÷	.	(2.4)
	÷ç÷ç M	÷÷
	øè xn ø

В разных базисах линейное преобразование задается различны-

ми матрицами [8. С. 198]. Пусть А — матрица линейного операто-

ра в базисе

r

r

r

,

А¢ — в базисе

r

r

r

Åñëè Ò = (t

),

e

, e

, ..., e

e¢

, e¢

, ..., e¢ .

1

2

n

1

2

n

ij

i, j = 1,n, — матрица перехода от первого базиса ко второму, мат-

рица оператора А¢ в базисе

r

r

r

[1. Ñ. 106];

e¢, e¢

, ..., e¢ : A¢ =T -1AT

1

2

n

[8. Ñ. 198].

Пример:

-1

r

r

r

r r

æ

2

ö

ì

e¢ =

2e

+ e

В базисе

e¢

e¢

A=

,

1

1

2

À

1,

2

ç

÷

ír

r

r .

Найти матрицу ¢

è3 1

ø

îe2¢ = -e1

+ 2e2

оператора А в базисе

r

r

e¢, e¢ .

1

2

æ 2 -1

ö

,

-1

=

1 æ

2 1 ö

,

T = ç

2

÷

T

ç

÷

è1

ø

5 è

-1 2ø

A¢ = T

-1

1 æ 2

1

öæ 2

-1öæ 2

-1ö

æ 2,6

-1,8ö

AT =

ç

-1

2

֍

֍

÷ = ç

÷

5 è

øè 3

1 øè1

2 ø

è 2,2

0,4 ø

О: Невырожденным называется линейное преобразование,

имеющее невырожденную матрицу.

r

Невырожденное преобразование А обладает обратным:

r

x

= A-1x¢.

r

r

r

r

r

r

òî

r

r

называется

Åñëè x¢ =

Ax,

x

¢¢ = Bx,

x¢¢ =

BAx,

x¢¢ = BAx. ÂÀ

произведением линейных преобразований.

О: Собственным вектором преобразования А называется вся- r r

кий ненулевой вектор, удовлетворяющий условию Ax = lx, а число l называется собственным значением А.

r	Пусть преобразование А в пространстве Rn с базисом
	r			r		задается матрицей (2.3). Тогда, используя (2.4), запи-
e	, e		, ..., e
1		2	r		n	r
øåì			Ax	= lx в виде системы

"

ì a11 - l x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0,
ï		+ (a22 - l )x2 + + a2n xn = 0,
ïa21x1
í		....................................						(2.5)
ï	n1 1							n = 0.
î		+ n2		2	+ ... + ( nn		l
ïa x		a	x		a	-	)x

Она имеет нетривиальное (ненулевое) решение, если

		a11 - l	a12	L	a1n
	D =	a21	a22 - l	L	a2n	= 0.
		K	K	K	K
		an1	an2	L ann - l

Раскрывая определитель, получим уравнение относительно l, которое записывается через матрицу А и единичную матрицу Е в виде det(A - lE) = 0 и называется характеристическим уравнением матрицы А. Оно является уравнением n-й степени и имеет не более n корней.

Матрицы преобразования А в различных базисах имеют одни и те же собственные значения.

Подставляя найденное собственное значение l в систему (2.5),

получаем систему для определения соответствующего собственно- r

го вектора x = (х1, õ2, ..., õn).

О: Линейный оператор А в евклидовом пространстве Rn íàçû-
вается симметрическим, или самосопряженным, если
r	r	r	r	r r
Ax	× y	= x	× Ay	"x, y Î Rn .

Для матрицы самосопряженного оператора А в ортонормиро-
	r r	r
ванном базисе	e1, e2	, ..., en, справедливо A = (aij )= (a ji ), i j = 1,n

(Такая матрица А называется симметрической.) Действительно,

r r	n	r r	= aij ,	r	r	r n	r	= aji Þ aij	= aji .
Ae j × ei	= åakj ek × ei			e j × Aei		= e j åakiek
	k =1					k =1

Если оператор А имеет n линейно независимых собственных
	r r	r
векторов	x1, x2	, ..., xn, то в базисе из этих векторов его матрица

имеет диагональную форму:

"!

æ l1		0	K	0	ö
ç	0	l2	K	0	÷	,
D = ç		... ...			÷
çK				... ÷
ç	0	0 ...			÷
è				ln ø

ãäå li ,i = 1,n , — собственные значения матрицы А.

Для самосопряженного оператора А собственные векторы, отвечающие различным li, ортогональны. Более того, существует ортонормированный базис из собственных векторов и A = U òDU. Здесь матрица U такая, что столбцы ее есть координаты ортонормированного базиса, U ò — матрица транспонированная по отношению к матрице U (все строки матрицы заменены на соответствующие столбцы ) [8. С.225].

Пример:

Найти диагональную форму матрицы А и новый базис, если

æ 2		2	-2	ö
ç	2	5	-4	÷	Матрица А — симметрическая, поэтому ее
A= ç				÷.
ç	-2	-4	5	÷
è				ø

можно диагонализировать. Находим собственные значения

	2 - l	2	-2
матрицы A:	2	5 - l	-4	= 0 Û ((l - 1)2 (l - 10)) = 0. Îòñþ-
	-2	-4	5 - l

äà l1 = l2 = 1, l3 = 10. Ïðè l1,2=1 имеем следующую систему для

ì

x + 2x

- 2x = 0,

ï

1

2

3

определения собственного вектора:

í 2x1 + 4x2 - 4x3 = 0, Û

ï-2x

- 4x

+

4x =

0,

î

1

2

3

Û x1 + 2x2 - 2x3 = 0 Þ x1 = -2x2 + 2x3.

r

= (-2x2 +

Решением

системы

является

вектор

u1

+ 2x3,x2,x3)"x2,x3.

Ïðè l3 = 10 для определения собственного вектора имеем

ì-8x1 + 2x2 - 2x3

= 0,

ì

+ x3

= 0,

ì

x

ï

- 5x2 - 4x3

ï2x1

ïx1 = -

3

,

í 2x1

= 0, Û í

+ x3

= 0,

Þ í

2

систему ï

- 4x2 - 5x3

ï x2

ï

= x3.

î-2x1

= 0,

î

î x2

""

r

-x

- x

, x

)"x .

Решение этой системы — вектор

u = (

3 ,

2

2

3

3

3

r

= 0, x

= 1, ïî-

Положим для u сначала x

= 1, x = 0, потом x

лучим

r

1

r

2

3

r2

3

e

= (-2,1,0),

e

= (2,0,1). Возьмем для

u

x

= -2, тогда

r

1

2

r

r

r

2

3

e3

= (1,2,-2). Векторы

e1, e2

, e3

образуют базис, которому со-

æ1

0

0 ö

ответствует диагональная форма матрицы А:

ç

0

1

0

÷

D =

ç

÷.

ç

0

0

10

÷

è

ø

Чтобы получить ортонормированный базис, выбираем x2,

r

r

r

x2 =

4

x3

äëÿ

e2

так, чтобы

e1

× e2 = 0. Пусть x3=1, тогда

,

5

r

2

4

r

r

r

e1¢

= (

,

). Векторы

e¢, e¢

, e

попарно ортогональны. Орто-

5

5,1

1

2

3

нормированный базис

r

(-2 / 5,1/

5, 0),

r

(2 /(3 5), 4 /(3

5), 5 /(3

5)),

e*

e*

1

2

er3* (1/ 3, 2 / 3, -2 / 3)

О: Квадратичной формой f от n неизвестных x1, x2, ..., xn в евклидовом пространстве Rn называется f (x1,x2, ..., xn)=

n n

=ååaij xi xj , aij — числовые коэффициенты, причем aij = aji.

i=1 j =1

Матрицей квадратичной формы называется матрица А = (aij), i, j = 1,n, ее ранг называется рангом квадратичной формы.

æ x1

ö

ç

÷

Åñëè

X = ç x2

÷,

X ò =

x

, x

2

,..., x

,

то справедливо равенство

ç

M

÷

1

n

ç

÷

è xn

ø

f (x

,x , ..., x ) = X

òAX. В частности, f (x ,x ) = a x 2

+ 2a x x + a x 2,

1 2

n

1 2

11 1

12 1 2

22 2

A=

æa11

a12 ö

; f (x ,x ,x ) = a x

2

+ a x

2

+ a x 2 + 2a x x + 2a x x +

ç

÷

1 2 3

11 1

22 2

33 3

12 1 2

13 1 3

èa12

a22 ø

æa11

a12

a13

ö

a x x

A=

ça

a

a

÷.

+ 2

23 2 3,

ç 21

22

23

÷

ça

a

a

÷

è 31

32

33

ø

"#

О: Каноническим видом квадратичной формы называется

n
f (x1,x2,...,xn )= åli xi¢2.	(2.6)

i=1

Так как матрица А квадратичной формы симметрическая, то всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду (2.6).

Коэффициенты li — собственные значения матрицы А. Ранг квадратичной формы при этом не меняется.

О: Квадратичная форма называется ïîложительно определен-

íîé, åñëè â (2.6) âñå li

> 0, i = 1,n, отрицательно опреде-

ленной, если li

< 0, i = 1,n.

Пример:

Привести квадратичную форму f(x ,x ) = 9x2

- 4xy + 6y2

ê êà-

ноническому виду.

1

2

Находим собственные значения матрицы квадратичной

формы

æ 9

-2ö

:

- l

-2

= 0

Û (9 - l)(6 - l) - 4 = 0 Û l1 = 5, l2 = 10.

9

A= ç

-2

÷

-2

6 - l

è

6 ø

Собственные векторы получаем из систем:

ì4u

- 2u

= 0,

ì

-u

- 2u = 0,

í

1

2

í

1

2

î-2u1 + u2 = 0,

î-2u1 - 4u2 = 0.

Решение первой — (u1,2u1) " u1, второй — (u1,-u1/2) " u1. Ортогональный базис (1, 2), (1, -1/2), ортонормированный —

r	r	-1/ 5).
e1¢ = (1/ 5, 2/ 5),	e2¢ = (2 / 5,

Квадратичная форма положительно определенная и преоб-

		ì	x			=		x1¢			+			2x2¢		,
		ï
				1			5								5
		ï
разованием		í						2	x¢						x¢		приводится к каноническому виду
		ï x				=			1				-		2
		ï			2				5						5
		î
f (x	,x ) = 5x ¢2			+ 10x ¢2
1	2	1							2

"$

2.10. Применение методов алгебры в математическом моделировании

Вопросы о роли математики в современном мире, о необходимости формирования культуры математического мышления специалиста любой отрасли знаний связаны с методом математического моделирования как методом изучения объектов реальной действительности.

Модель — это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая способна замещать объект таким образом, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте.

По форме представления модели можно разделить на физические, символические, смешанные. К символическим моделям относятся математические модели.

Математическая модель — это приближенное описание како- го-либо класса явлений, объектов внешнего мира, выраженное с помощью математических понятий и символики.

Прежде всего математические модели делятся на образные (чертежи, графики, схемы и т.д.) и знаково-символические (уравнения, формулы и т.д.).

Знаково-символические модели бывают следующих видов:

1)оптимизационные (в частности, экономико-математичес- кие) модели, в которых введен критерий оптимальности, определяющий смысловое содержание построенной целевой функции, связывающей факторы модели (например, задача о расходе сырья);

2)функциональные модели, в которых по значениям одной переменной можно определить значения другой. К ним относят-

ся динамические модели, когда в качестве переменной участвует время t, например s = v Ч t (зависимость пути s от времени t и скорости v), и статические модели, например S = xy ( зависимость площади прямоугольника от его длины и ширины).

Кроме того, математические модели можно разделить на детерминистские и стохастические. Детерминистские модели выражаются формулой, уравнением, в которые входят достоверные вели- чины, а в стохастических (вероятностных или статистических) моделях участвуют случайные величины.

"%

С позиции непрерывности математические модели делятся также на непрерывные и дискретные модели, например, дискретные и непрерывные случайные величины.

Следует заметить, что базисные математические понятия, являющиеся каркасом математической теории, представляют из себя модели реально существующих объектов. Это число, множество, функция, длина, площадь, объем, вектор, матрица, производная, дифференциал, первообразная, определенный интеграл, дифференциальное уравнение, событие, вероятности, случайная величи- на и др.

Если математическая модель построена, то ее исследование ведется средствами математики без привлечения содержательных соображений. Процесс математического моделирования (построения и исследования математической модели) разбивается на следующие этапы:

1)Построение математической модели: отбрасывание второстепенных факторов, построение описательной модели объекта и переведение ее на математический язык.

2)Изучение построенной математической модели с помощью математических методов.

3)Проверка адекватности построенной модели опытным дан-

íûì.

4)В случае несоответствия опытным данным — уточнение математической модели или ее замена другой моделью.

Многие задачи физики, химии, экономики, технические и технологические задачи приводят к математическим моделям, записываемым или в виде системы уравнений, или в векторной форме. Часто таким образом представляются статические модели, когда процесс рассматривается вне зависимости от времени.

2.10.1. Статические модели физики

Статическими моделями занимается статика — часть механики, в которой рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.

"&

Уравнения равновесия твердого тела, на которое действуют несколько сил, записываются из условия

r	n r
 = å Fk = 0.				Y
	k =1
В проекциях на выбранные оси коор-					r
					F2
динат имеем				r
ì	n			F1
ï	å Fkx = 0,				a
ïk =1		r	g		b
ï						X
	n	F		Î
ï	å Fky = 0,	4
í
ïk =1						r
ï	n					F3
ïï	å Fkz = 0.
îk =1				Ðèñ. 2.18

Например, на рис. 2.18 изображены четыре силы r r r r

F1, F2, F3, F4, приложенные к твердому телу в т. О и лежащие в

одной плоскости. Необходимо определить модуль и направление
r
ñèëû F5, приложенной в т. О и уравновешивающей положение
òåëà.
Уравнения равновесия в проекциях на ОХ и ОУ имеют вид
ìF cosa + F cosb - F cos g + F x = 0,
ï 2	3	4	5
í	+ F2 sin a - F3 sinb - F4 sin g + F5y = 0.
ïF1
î

Задача статически определенная, так как число неизвестных равно числу уравнений. Найдя F5x, F5y из уравнений, определяем

F5 = F52x + F52y .

2.10.2. Статические модели химии

Пусть даны n веществ А1, À2, ..., Àn и m реакций, протекающих по схеме

"'

ìa	A	+ a				A + ... + a n An = 0,
ï 11 1		12				2			1
ïa21A1 + a22A2 + ... + a2n An = 0,
í
ïLLLLLLLLLLLLL
ïa	A	+ a				A + ... + a				mn	A = 0.
î	m1 1				m2 2						n
Матрица a = (aij )	(i =			,		j =		)	называется стехиометри-
			1,n				1,m

ческой матрицей. При составлении такой системы необходимо соблюдать закон сохранения. В матричном виде

æ A1	ö
ç	÷
aA = 0, A = ç A2	÷.
çL	÷
ç	÷
ç	÷
è An	ø

Рассмотрим множество всевозможных атомов, которые входят в молекулы веществ А1, À2, ..., Àn. Пусть их ll. Представим каждую молекулу как вектор в l-мерном пространстве, записав хими- ческую формулу молекулы в виде линейной комбинации этих атомов. Например, имеем молекулы СО2, Í2Î, Í2ÑÎ3, Í2, Î2. Пусть В1, Â2, Â3 — единичные векторы, соответствующие атомам Н, О, С, т.е. В1(1,0,0), Â2(0,1,0), Â3(0,0,1). Тогда для Н2 = À1 имеем А1= 2Â1, аналогично

äëÿ Î2 = À2	À2	= 2Â2,
Í2Î = À3	À3	= 2Â1 + Â2,
ÑÎ2 = À4	À4	= 2Â2 + Â3,
Í2ÑÎ3 = À5	À5	= 2Â1 + 3Â2 + Â3.
Таким образом, Aj	= bj1B1 + bj2B2 + ... + bjlBl, j =			.
			1,n

В матричной форме имеем

æç A1 ç A2 ççL

ç

è An

ö	æb	b	L b l
÷	ç 11	12	1
÷	= çb21 b22 L b2l
÷	çLLLLLL
÷	ç	b	L b
÷	çb
ø	è n1	n2	nl

öæB1 ÷ç

÷çB2 ÷÷ççL ÷ç

øèBl

ö

÷

÷

÷

÷

÷

ø

или А = bВ, причем b = (bij) (i = 1,l, j = 1,n) называют атомной матрицей.

#