9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

На плоскости W1 выбираем произвольную т. K и находим расстояние от нее до плоскости W2. Òàê, K (-2, 0, 0) Î W1,

d =			-4	- 9		=	13	=	13 14
										28
	22 + (-4)2 + 62					56

3.3. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости

3.3.1. Уравнения линий в пространстве

Линию в пространстве можно всегда определить как линию пересечения двух поверхностей. Если они заданы уравнениями F1(x, y, z) = 0 è F2(x, y, z) = 0, то система этих уравнений задает уравнения линии пересечения поверхностей:

ìF1(x, y, z) = 0,

í = î F2(x, y, z) 0.

Например, уравнения осей координат:

ìy = 0	,	ìx = 0	,	ìx = 0	.
OX: í		OY : í		OZ : í
î z = 0		î z = 0		î y = 0

Перейдем к изучению прямой в пространстве.

3.3.2. Канонические и параметрические уравнения прямой

Положение прямой L в пространстве вполне определяется за-

r

данием т. M0(x0, y0, z0) О L (опорная точка) и вектора S = {m, n, p}

(направляющий вектор). Составим уравнения прямой L.

Обозначим через M (x, y, z) точку с те-

Z

кущими координатами на L (рис.3.8).

Тогда

uuuuuuur

r

uuuuuuur r

r

M0M P S

Û M0M

´ S = 0 Û

r

R

S

Û x - x0

= y - y0 = z - z0 .

Ì

L

Y

m

n

p

O

X

Ì0

Полученные уравнения прямой L на-

Ðèñ. 3.8

зывают каноническими. Если приравнять

$

отношения параметру t и найти x, y, z через t, то получим параметрические уравнения прямой:

x = x0 + mt, y = y0 + nt, z = z0 + pt.

(3.3)

В евклидовом пространстве Rn с ортонормированным базисом канонические уравнения прямой имеют вид

x1 - x10 = x2 - x20 = ... = xn - xn0 ,

m1 m2 mn

r

S = {m1, m2, ..., mn } — направляющий вектор.

Пусть заданы две точки M (x , y , z ) и M (x , y , z ), лежащие r uuuuuuuur1 1 1 1 2 2 2 2

на прямой L. Тогда S = M1M2, получаем уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:

x - x1 = y - y1 = z - z1 . x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

В частности, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1(x1, y1), M2 (x2, y2) на плоскости:

x - x1 = y - y1 . x2 - x1 y2 - y1

3.3.3. Общие уравнения прямой

Рассмотрим систему двух уравнений I степени:

ì A x + B y +C z + D = 0,
í 1	1	1	1	(3.4)
îA2x + B2y +C2z + D2 = 0.

Каждое из уравнений системы определяет плоскость в пространстве, а система в целом, если плоскости не параллельны, — прямую, по которой они пересекаются. Эти уравнения называют

общими уравнениями прямой. Направляющий вектор такой пря-
r	r	r	r r
мой находится по формуле S	= N1	´N2 , ãäå N1,N2 — нормальные

векторы плоскостей.

Задача. Известны общие уравнения прямой L:

ìx - y - 4 = 0,
í	= 0.
îx + 2y + z - 7

$

Найти ее канонические уравнения. Находим направляющий вектор

				r	r	r
r	r	r		i	j	k	r	r	r
S	= N1	´ N2	=	1	-1 0		= -i	- j	+ 3k.
				1	2	1

Для определения координат опорной т. М0 полагаем z0 = 0 и, подставляя z0 в общие уравнения L, получаем систему для определения x0, y0:

ì x		- y	- 4 = 0,	Û
í	0	0
îx0 + 2y0 - 7 = 0,

ìx - y - 4	= 0,	ìx - y
í 0 0		Û í 0 0
î-3y0 = -3,		îy0 = 1,

=4, Û ìx0 = 5,

í= 1.

îy0

Таким образом, канонические уравнения прямой L следующие:

x - 5 = y -1 = z

-1 -1 3

3.3.4. Угол между двумя прямыми.
Условия параллельности и перпендикулярности
Под углом Q между двумя прямыми в пространстве будем по-
							r	r
нимать угол между их направляющими векторами S1								è S2 , ò.å.
r	r			r		r
				S	× S
·
cos Q = cos(S	, S	2	) =	r1		r2	.
1				S1		S2

Условия параллельности и перпендикулярности прямых следу-
		r	r
ют из условий параллельности векторов S1			è S2:
r	r	r	r
L1 P L2 Û S1	´ S 2 = 0; L1 ^ L2	Û S1	× S 2 = 0.

3.3.5. Угол между прямой и плоскостью

О: Углом Q между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

r	= {m, n, p} è
Пусть заданы направляющий вектор прямой S

r

нормальный вектор плоскости N = {A, B,C}. Тогда (рис. 3.9)

$!

r

L

r

r

N

rr

RS

r r

N

×S

Q

N S

sin Q =

·

=

W

cos N, S

r

r

.

Условия параллельности и перпендику-

лярности прямой имеют вид

Ðèñ. 3.9

r

r

r

r

= 0

Û Am + Bn +Cp = 0,

L P W Û S ^ N Û S

× N

r

r

r

r

L ^ W Û S P N Û S

´ N = 0 Û A / m = B / n =C / p.

3.3.6. Точка пересечения прямой и плоскости

Если заданы канонические уравнения прямой и общее уравнение плоскости, то для нахождения точки пересечения необходимо решить систему их уравнений

ìAx + By +Cz + D = 0,
ï	x - x0		y - y0		z - z0
í		=		=		.
ï
			n		p
î m

Приравниваем каждое из отношений канонических уравнений параметру t и подставляем (3.3) в уравнение плоскости:

A (x0 + mt) + B (y0 + nt) + C (z0 + pt) + D = 0.

Если точка пересечения существует, т.е. Am + Bn + Cp ¹ 0, то находим t :

t = - Ax0 + By0 +Cz0 + D , Am + Bn +Cp

а затем из (3.3) — координаты точки пересечения.

Задача. Найти т. Р пересечения W: x - 2y + 3z - 4 = 0 и L: x 2-1 = 1y = z 4+1.

Имеем x = 2t + 1, y = t, z = 4t - 1 Ю (2t + 1) - 2t + 3(4t - 1) - 4 = = 0 Ю 12t = 6 Ю t = 0,5 Ю P (2; 0,5; 1)

Литература: [5. С. 41–50; 61–72;]; [7. С. 4–73]; [16. С. 34–69].

$"

4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ: КРИВЫЕ 2-го ПОРЯДКА

Опорный конспект ¹ 4

4.1. Общее уравнение кр. 2п

Ax2 + Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

(A2 + B 2 + C 2 ¹ 0).

Частный случай — окружность — гмт М: |CM | = R,

C(x0, y0) — центр, R — радиус. Нормальное уравнение окружности

Y		(x - x )2	+ (y - y )2 = R2
	M	0		0
		В общем уравнении кр. 2п в случае ок-
y0	C	ружности A = C, B = 0
		Каноническое уравнение окружности
O	x0	X	x2 + y2	= R2

uuuuur

+

uuuuur

= 2a,

4.2. Эллипс — гмт М:

F1M

F2M

Y

F1(-c, 0), F2(c, 0) — фокусы, 2c < 2a

B

Каноническое уравнение:

b

2

M (x, y)

x

2

y

2

+

= 1,

b2 = a2 - c2,

-a

a

X

a2

b2

A1 F1

Î

F2

A2

где a, b — большая и малая полуоси

-b B1

A1, A2, B1, B2 — вершины эллипса

c /a = e < 1 — эксцентриситет

uuuuur

-

uuuuur

= 2a,

4.3. Гипербола — гмт М:

F1M

F2M

F1(-c, 0), F2(c, 0) — фокусы, 2c > 2a

Каноническое уравнение:

x2

-

y2

= 1,

b2 = ñ2 - a2,

a2

b2

где a, b — действительная и мнимая полуоси

$#

			Y
					M
			b
			O A
	A	1		2
F1	- a		a		F2	X

- b

Асимптоты y = ± b x — прямые, к которым приближаются a

ветви гиперболы при M ® ¥

À1, À2 — вершины, c /a = e > 1 —эксцентриситет

4.4. Парабола — гмт М: |FM| = |M ¢M|, F (p/2, 0) — фокус, |M ¢M| — расстояние от т. М до заданной прямой (директрисы);

	Y	p — расстояние от т. F до директрисы
		Каноническое уравнение: y2 = 2px,
		уравнение директрисы: x = -p/2.
M ¢	M	Другие случаи:
	p/2
-p/2		X
	F
			Y
	Y	Y
	X	X	X
	y2 = -2px	x2 = 2py	x2 = -2py

4.5.Преобразования параллельного переноса и поворота системы координат

YY ¢

b

O ¢

O

a

M (x, y)Î XOY ; O¢(a, b), M ¢(x¢, y¢)Î X ¢O¢Y ¢:

ìx = x¢ + a,

X ¢ íy = y¢ + b.

î

X

$$

Y ¢	Y

X ¢

a

X

O

M (x, y)Î XOY ; M ¢(x¢, y¢)Î X OY¢ ¢:

ìx = x¢cosa - y¢sin a

íy = x¢sin a + y¢cosa

î

4.1. Общее уравнение кривой 2-го порядка. Окружность

О: Общим уравнением кривой 2-го порядка (кр. 2п) называется уравнение II степени относительно текущих координат:

Ax2 + Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, A2 + B 2 + C 2 ¹ 0,
(A, B, C, D, E, F) Î R.	(4.1)

Частным случаем уравнения кр. 2п является уравнение окруж-

ности (п. 3.1.1): (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2, ãäå (x0, y0) — центр; R — радиус.

Рассмотрим теперь общее уравнение кр. 2п, в котором А = С, В = 0.

Без ограничения общности будем считать, что А = С = 1. Дополним члены, содержащие х, и члены, содержащие y, до

полных квадратов:

(x2 + 2Dx + D 2) + (y2 + 2Ey + E 2) = D 2 + E 2 - F Û Û (x + D)2 + (y + E)2 = D 2 + E 2 - F.

Возможны три случая:

1) D 2 + E 2 - F > 0 — имеем уравнение окружности, т. С (-D, -E) — центр, R = D2 + E 2 - F ;

2)D 2 + E 2 - F = 0 — имеем одну точку С (-D, -E);

3)D 2 + E 2 - F < 0 — уравнение не определяет кривой.

Пример:

Уравнение x2 + y2 - 2x + 4y - 9 = 0 является уравнением окружности. Путем выделения полных квадратов для членов, содержащих x, и членов, содержащих y, это уравнение приводим к виду (x - 1)2 + + (y + 2)2 = 4, т.е. центр данной окружности в т. C (1, -2), R = 2.

$%

4.2. Эллипс

О: Эллипсом называют гмт, сумма расстояний от которых до двух данных точек F1 è F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная 2a. Если фокальное расстояние |F1F2| = 2c, òî 2c < 2a.

Выберем прямоугольную систему координат, чтобы F1F2 О OX, а начало координат совпало с серединой F1F2, OY ^ F1F2.

Тогда F1(-c, 0), F2(c, 0) (ðèñ. 4.1).

YВыведем уравнение эллипса.

b

B

2

Пусть

( ,

) О эллипсу. Из опреде-

M

M x y

ления эллипса |F M | + |F M | = 2a. Так

a

uuuuur

1

uuuuur2

-a

X

êàê F1M = {x + c, y},

F2M = {x - c, y}, òî

À F

O

F

1

2

À

1

2

-b

B1

(x + c)2 + y2 + (x - c)2 + y2 = 2a —

уравнение эллипса. Упростим его.

Ðèñ. 4.1

Перенесем второе слагаемое левой час-

ти вправо и возведем обе части в квадрат:

æ

2

+ y

2 ö2

æ

2

2 ö2

ç

(x + c)

÷

= ç 2a -

(x - c) + y

÷ Û

è

ø

è

ø

Û (x + c)2 + y2 = 4a2 - 4a x - c 2 + y2 + (x - c)2 + y2 Û

Û cx - a2 = - a (x - c)2 + y2 .

Обе части полученного после упрощений последнего уравнения снова возводим в квадрат:

c2x2 - 2a2cx + a4 = a2((x - c)2 + y2) Û

Û (a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 - c2).

Обозначим a2 - c2 = b2 и разделим обе части полученного уравнения на a2b2, в результате получим так называемое каноническое уравнение эллипса:

x2 + y2 = 1. a2 b2

$&

Исследуем форму эллипса:

— эллипс симметричен относительно осей координат, так как уравнение содержит четные степени x и y;

	— в I четверти уравнение имеет вид	y =	b	a2 - x2 ;
			a

—при возрастании x от 0 до a y убывает от b до 0;

—строим кривую в I четверти и симметрично продолжаем в остальные четверти (см. рис. 4.1).

Оси симметрии эллипса являются его осями, точка их пересе- чения — центром эллипса.

Ось, на которой расположены фокусы, называется фокальной.

Числа a и b являются соответственно большой и малой полуося-

ми эллипса, точки А1(-a, 0), À2(a, 0), B1(0, -b), B2(0, b) — вершинами эллипса.

Форму эллипса характеризует отношение c/a = e < 1, на-

зываемое эксцентриситетом эллипса. Действительно,

æ b ö2				a2 - c2		2
ç		÷	=			= 1 - e	, поэтому, чем меньше эксцентриситет, тем
					2
è a ø				a

меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси. В предельном слу- чае при e = 0 эллипс переходит в окружность.

4.3. Гипербола

О: Гиперболой называется гмт, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек F1 è F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная 2a. Если фокальное расстояние |F1F2| = 2c, òî 2c > 2a.

Расположим ПСК XOY так же, как в случае эллипса. Тогда F1(-c, 0),

F2(c, 0), и для любой т. М (x, y) гиперболы согласно определению
(ðèñ. 4.2)				uuuuur		-		uuuuur		= 2a. Таким образом, имеем уравнение
				F1M				F2M

x + c 2 + y2 - x - c 2 + y2 = ±2a.

После аналогичных упрощений (см. п. 4.2) оно принимает вид (a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 - c2).

$'

		Y
		N
		b
				M
A1		A2
F1	-a	a	x		X
		O		F2
		-b
		Ðèñ. 4.2

Обозначим c2 - a2 = b2, разделим обе части на a2b2, тогда полу-

	чим уравнение	x2	-	y2	= 1,	которое называется каноническим
		a2		b2

уравнением гиперболы.

Гипербола, как и эллипс, симметрична относительно осей координат. В I четверти уравнение гиперболы имеет вид

	y =	b	x2 - a2 , т.е. при возрастании x от а до +¥ y возрастает от 0 до +¥.
		a

Покажем, что точки гиперболы при удалении их по графику

в ¥ приближаются к прямым y = ± b x, называемым асимптотами a

гиперболы. Для этого возьмем точки M (x, y) на гиперболе и

N (x,y ) íà	y =		b		x	(см. рис. 4.2), составим
1			a
						y - y = b x - b			x2 - a2	=
						1	a	a
	=	b		x - x2 - a2 x + x2 - a2 =						ab	.
		a				x + x2 - a2				x + x2 - a2

Так как знаменатель дроби неограниченно увеличивается с возрастанием x, а числитель — величина постоянная, то y1 - y ® 0 при x ® ¥, т.е. т. М и т. N неограниченно сближаются.

Для построения гиперболы сначала строят прямоугольник, ограниченный прямыми x = ±a, y = ±b, затем проводят его диагонали, которые совпадают с асимптотами гиперболы (см. рис. 4.2).

%