Лабораторная работа №6: «Решение нелинейных уравнений методом простой итерации».

Задание: 1)Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

2) Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001.

Пример выполнения задания: 1) 2x+lg(2x+3)=1

Найдём приближённые значения корней графически:

Корень X₀ принадлежит отрезку [0;0,5]. Для уточнения методом итерации приведём уравнение к виду: x=φ(x), где φ(x)=x-f(x)/k, считая, что ׀k ׀, а Q=max׀'f׀

Число k имеет тот же знак, что и f’ в промежутке [0;0,5].

Находим f(x)=2x+lg(2x+3)-1; f’(x)=

Q=f’(x)>0 при

Примем k=2, тогда φ(x)=x-f(x)/k =x-x-

За начальное приближение возьмём x₀=0, все остальные значения будем определять из равенства: . Вычисления удобно располагать в таблице:

n	xn	2xn+3	lg(2xn+3)	0,5*lg(2xn+3)
0	0	3	0,477121	0,238561
1	0,261439	3,5228787	0,546898	0,273449
2	0,226551	3,4531023	0,538209	0,269105
3	0,230895	3,4617906	0,539301	0,26965
4	0,23035	3,4606992	0,539164	0,269582
5	0,230418

Самостоятельно: 1)2x-lgx=7

2)

Лабораторная работа 7

Метод главных элементов для решения системы уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = a₁₄

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = a₂₄

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = a₃₄

На каждом этапе исключения неизвестного выбирают главный элемент ---

Наибольший по модулю коэффициент при неизвестных, затем находят

значения m_i, равные частному от деления элементов столбца, содержащих главный элемент, на главный элемент, взятый с противоположным знаком.

Для получения элементов следующего этапа прибавляют главную строку (строку, содержащую главный элемент) к остальным строкам, умножая её на соответствующее значение m_i.

Один из возможных вариантов схемы главных элементов приводится ниже.

mi	Коэффициенты при неизвестных			Коэффициенты при неизвестных	Контрольные суммы 
	x1	x2	x3
m1 -1 m3	a11 a21 a31	a12 a22 a32	a13 a23 a33	a14 a24 a34	a15 a25 a35
-1 m3	a’11 a’31	a’12 a’32	-- --	a’14 a’34	a’15 a’35
	--	a”32	--	a”34	a”35
	x1	x2	x3
	X1	X2	X3

В приведенной схеме Ia₂₃I=maxIa_ijI, Ia’₁₁I=maxIa’_ijI.

Вычисления производят по формулам: m₁=-a₁₃/a₂₃, m₃=-a₃₃/a₂₃ ;

a’_1j= a_1j+m₁a_2j ( j = 1,2,4,5); a’_3j= a_3j+m₃a_2j ( j = 1,2,4,5); m’₃=-a’₃₁/a’₁₁; a”_3j= a’_3j+m’₃a’_1j ( j = 2,4,5);

Неизвестные находят из соотношений:

x₂= a”₃₄/a”₃₂ ; X₂= a”₃₅/a”₃₂ ;

x₁=(a’₁₄– a’₁₂x₂)/a’₁₁; X₁= (a’₁₅– a’₁₂X₂)/a’₁₁;

x₃=(a₂₄- a₂₁x₁-a₂₂x₂)/a₂₃; X₃= (a₂₅- a₂₁X₁-a₂₂x₂)/a₂₃;

Контроль вычислений осуществляют так же, как и в схеме единственного деления.

Задание: решить систему уравнений с точностью до .

1. 16.

2. 17.

3. 18.

4. 19.

5. 20.

6. 21.

7. 22.

8. 23.

9. 24.

10. 25.

11. 26.

12. 27.

13. 28.

14. 29.

15. 30.