Лабораторная работа19. Вычисление определенных интегралов по формуле трапеций и формуле Симпсона, по формуле левых, правых и средних прямоугольников.

1. Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

Решение:

Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение n _max,

чтобы: (*) Здесь a=0.7; b=1,3; / f ”(x)/,

где f (x)=1/

Находим: f ’(x)=, f ”(x)=;

Положим M₂=7, тогда неравенство (*) примет вид

Откуда n²>252, т.е. n>16; возьмем n=20, Вычисление интеграла производим по формуле:

где: h=(b-a)/n=0,6/20=0,03, y_i=y(x_i)=1/; x_i=0,7+ih (i=0,1,2,…,20) Все расчеты произведены в таблице:

Таблица 1.

i	xi	xi^2	2xi^2+0,3		y0,y20	y1,…,y19
0	0,7	0,49	1,28	1,131371	0,883883
1	0,73	0,5329	1,3658	1,168674		0,85567
2	0,76	0,5776	1,4552	1,206317		0,82897
3	0,79	0,6241	1,5482	1,244267		0,803686
4	0,82	0,6724	1,6448	1,282498		0,779729
5	0,85	0,7225	1,745	1,320984		0,757011
6	0,88	0,7744	1,8488	1,359706		0,735453
7	0,91	0,8281	1,9562	1,398642		0,714979
8	0,94	0,8836	2,0672	1,437776		0,695519
9	0,97	0,9409	2,1818	1,477092		0,677006
10	1	1	2,3	1,516575		0,65938
11	1,03	1,0609	2,4218	1,556213		0,642585
12	1,06	1,1236	2,5472	1,595995		0,626568
13	1,09	1,1881	2,6762	1,63591		0,611281
14	1,12	1,2544	2,8088	1,675947		0,596677
15	1,15	1,3225	2,945	1,7161		0,582717
16	1,18	1,3924	3,0848	1,75636		0,569359
17	1,21	1,4641	3,2282	1,796719		0,55657
18	1,24	1,5376	3,3752	1,837172		0,544315
19	1,27	1,6129	3,5258	1,877711		0,532563
20	1,3	1,69	3,68	1,918333	0,521286
					1,40517	12,77004

Таким образом,

I=0,03 (+12,77004)=0,404180,404

2) Вычислить интеграл по формуле Симпсона с тремя десятичными знаками. Пусть n=8, поэтому h=(b-a)/n=(1,6-1,2)/8=0,05.

Вычислительная формула:

I=(y₀+4y₁+2y₂+4y₃+2y₄+4y₅+2y₆+4y₇+y₈), где y_i=y(x_i)=, x_i=1,2+ih

Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в таблице 2.

Таблица 2.

i	xi	2xi-2,l	sin (2xi-2,1)	xi^2+1	y0,y8	y1, y3, y5, y7	y2, y4, y6
0	1,20	0,30	0,29552	2,44	0,1211
1	1,25	0,40	0,38942	2,5625		0,1520
2	1,30	0,50	0,4794	2,69			0,1782
3	1,35	0,60	0,5646	2,8225		0,2000
4	1,40	0,70	0,6442	2,96			0,2176
5	1,45	0,80	0,7174	3,1024		0,2312
6	1,50	0,90	0,7833	3,25			0,2410
7	1,55	1,00	0,8415	3,4025		0,2473
8	1,60	1,10	0.8912	3,56	0,2503
					0,3713	0,8305	0,6368

Следовательно, I (0,3714+4 •0,8305+2 • 0,6368) 0,88278.Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (табл. 3).

Так как max |4yi|=0,0001, то остаточный член формулы

R_ост<

Вычисления производились с четырьмя значащими цифрами, а потому величина остаточного члена на погрешность не влияет.

Погрешность вычислений можно оценить из соотношения

I = (b -a) •у < 0,4 • 0,0001 < 0,00005. Значит, полученные четыре десятичных знака верны.

Таблица 3.

I	уi	yi	2yi	3yi	4yi
0	0,1211	0,0309	-0,0047	0,0003	-0,0001
1	0,1520	0,0262	-0,0044	0,0002	0.0000
2	0,1782	0,0218	-0,0042	0,0002	0.0000
3	0,2000	0,0176	-0,0040	0,0002	0,0001
4	0,2176	0,0136	-0,0038	0,0003	-0,0001
5	0,2312	0.0098	-0,0035	0,0002
6	0,2410	0,0063	-0,0033
7	0,2473	0,0030
8	0,2503

Самостоятельно:

1)

2)

3)

4)