3) Вычислить определенный интеграл по формуле левых и правых прямоугольников.

-?

Для вычисления по формулам левых, правых и средних прямоугольников при n=10 разобьём отрезок интегрирования [1,5;2,3] на 10 частей с шагом . Составим таблицу значений подинтегральной функции в точках деления отрезка:

i	xi	0,3xi+1,2				yi
0	1,5	1,65	1,284523	1,658312	4,058312	0,316517
1	1,58	1,674	1,293832	1,731011	4,259011	0,303787
2	1,66	1,698	1,303073	1,804328	4,460328	0,292147
3	1,74	1,722	1,31225	1,878191	4,662191	0,281466
4	1,82	1,746	1,321363	1,952537	4,864537	0,271632
5	1,9	1,77	1,330413	2,027313	5,067313	0,262548
6	1,98	1,794	1,339403	2,102475	5,270475	0,254133
7	2,06	1,818	1,348332	2,177981	5,473981	0,246317
8	2,14	1,842	1,357203	2,253797	5,677797	0,239037
9	2,22	1,866	1,366016	2,329893	5,881893	0,232241
10	2,3	1,89	1,374773	2,406242	6,086242	0,225882
						2,699825
						2,60919

В таблице найдены суммы:

По формуле левых прямоугольников

По формуле правых прямоугольников

Эти значения отличаются уже в сотых долях. За окончательное значение примем полусумму найденных значений, округлив результат до тысячных:

4) Вычислить определенный интеграл по формуле средних прямоугольников.

?

Для решения воспользуемся формулой средних прямоугольников:

Вычисления производим с шагом h=(b-a)/10=(1,2-0,4)/10=0,08.

i	xi	Xi+h/2	Sin(0,6x+0,3)	1,7+cos(x^2+1,2)	Y(xi+h/2)
0	0,4	0,44	0,534571	1,909239	0,279992
1	0,48	0,52	0,574506	1,839936	0,312242
2	0,56	0,6	0,613117	1,757165	0,348924
3	0,64	0,68	0,650316	1,661206	0,391472
4	0,72	0,76	0,686017	1,552932	0,441756
5	0,8	0,84	0,720137	1,434036	0,502175
6	0,88	0,92	0,752599	1,307265	0,575705
7	0,96	1	0,783327	1,176628	0,665739
8	1,04	1,08	0,812251	1,047557	0,775376
9	1,12	1,16	0,839303	0,92697	0,905426
10	1,2				5,198807

Приближённое значение интеграла:

I=h=0,1×5,198807=0,43580

Самостоятельно:

1)

2) 3)

4)

Лабораторная работа 20. Метод Эйлера с уточнением

Задание: Используя метод Эйлера с уточнением, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения y=f(x,y), удовлетворяющего начальным условиям y (x₀)=y₀ на отрезке [a,b]; шаг h=0,1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

Образец выполнения:

y=x+sin(y/2,25); y₀(1,4)=2,2, x[1,4;2,4]

Метод Эйлера с уточнением заключается в том, что каждое значение y_k+1=y(x_k+1), где y(x) — искомая функция, а x_k+1=x₀+h(k+1), k=0, 1, 2 …, определяется следующим образом:

За начальное приближение берется

y⁽⁰⁾_k+1=y_k+hf(x_k, y_k), где f(x, y)=y(x, y)

найденное значение y⁽⁰⁾_k+1 уточняется по формуле

y⁽ⁱ⁾_k+1=y_k+h/2[f(x_k, y_k)+ f(x_k+1, y_k+1)] (i=1, 2…)

Уточнение продолжают до тех пор, пока в пределах требуемой точности два последовательных приближения не совпадут.

Все описанные вычисления удобно производить, составив следующие таблицы:

• Основную таблицу, в которой записывается ответ примера (таблица I);

• Таблицу, в которой выполняется процесс последовательных приближений (таблица II);

• Вспомогательную таблицу, в которой вычисляются значения функции f(x_k, y_k) (таблица III).

		Таблица I
k	xk	yk	fk=f(xk, yk)	hfk
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4	2,2 2,4306 2,6761 2,9357 3,2084 3,4929 3,7876 4,0908 4,4006 4,7152 5,0328	2,2292 2,3821 2,5281 2,6648 2,7895 2,8998 2,9936 3,0696 3,1268 3,1654	0,2229 0,2382 0,2528 0,2665 0,2790 0,2900 0,2994 0,3070 0.3127 0.3165

Таблица II

k+1	xk+1	yk	i	y k+1	fk	f k+1	fk+f k+1	h/2(fk+f k+1)
1	1,5	2,2	0	2,4229	2,2292	2,3805	4,6097	0,2305
			1	2,4305		2,3820	4,6112	0,2306
			2	2,4306		2,3821	4,6113	0,2306
2	1,6	2,4306	0 1 2	2,6688 2,6760 2,6761	2,3821	2,5268 2,5280 2,5281	4,9089 4,9101 4,9102	0,2454 0,2455 0,2455
3	1,7	2,6761	0 1	2,9289 2,9357	2,5281	2,6641 2,6648	5,1922 5,1929	0.2596 0,2596
4	1,8	2,9357	0 1	3,2022 3,2084	2,6648	2,7892 2,7895	5,4540 5,4543	0,2727 0,2727
5	1,9	3,2084	0 1	3,4874 3,4929	2,7895	2,8998 2,8998	5,6893 5,6893	0,2845 0,2845
6	2,0	3,4929	0 1	3,7829 3,7876	2,8998	2,9939 2,9936	5,8937 5,8934	0,2947 0,2947
7	2,1	3,7876	0 1	4,0870 4,0908	2,9936	3,0700 3,0696	6,0636 6,0632	0,3032 0,3032
8	2,2	4,0908	0 1	4,3978 4,4006	3,0696	3,1273 3,1268	6,1969 6,1964	0.3098 0.3098
9	2,3	4,4006	0 1	4,7133 4,7152	3,1268	3,1658 3,1654	6,2926 6,2922	0.3146 0.3146
10	2,4	4,7152 0	0 1	5,0517 5,0328	3,1654	3,1866 3,1863	6,3520 6,3517	0,3176 0,3176

Таблица III

k	x	у	y/2,25	sin(y/2,25)	y=x+sin(y/2,25)
0	1,4	2,2	0,9778	0,8292	2,2292
1	1,5 1,5 1,5	2,4229 2,4305 2,4306	1,0768 1,0802 1,0803	0,8805 0,8820 0,8821	2,3805 2,3820 2,3821
2	1,6 1 ,6 1,6	2,6688 2,6760 2,6761	1,1861 1,1893 1,1894	0,9268 0.9280 0,9281	2,5268 2,5280 2,5281
3	1,7 1,7	2,9289 2,9357	1,3017 1,3048	0,9641 0,9648	2,6641 2,6648
4	1,8 1,8	3,2022 3,2084	1,4232 1,4260	0,9892 0,9895	2,7822 2,7895
5	1,9 1,9	3,4874 3,4929	1,5500 1,5524	0,9998 0,9998	2,8998 2,8998
6	2,0 2,0	3,7829 3,7876	1,6813 1,6834	0,9939 0,9936	2,9939 2,9936
7	2,1 2,1	4,0870 4,0908	1,8164 1,8181	0,9700 0,9696	3,0700 3,0696
8	2,2 2.2	4,3978 4,4006	1,9546 1,9558	0,9273 0,9268	3,1273 3,1268
9	2,3 2,3	4,7133 4,7152	2,0948 2,0956	0,8658 0,8654	3,1658 3,1654
10	2,4 2,4	5,0317 5,0328	2,2363 2,2368	0,7866 0,7863	3,1866 3,1863

Ответом являются значения yk(x), полученные в табл. I.

Варианты заданий:

1. y=x+cos, y₀(1,8)=2,6, x[1,8;2,8]

2. y=x+cos, y₀(1,6)=4,6, x[1,6;2,6]

3. y=x+cos, y₀(0,6)=0,8, x[0,6;1,6]

4. y=x+cos, y₀(0,5)=0,6, x[0,5;1,5]