Лабораторная работа №4: «Решение нелинейных уравнений методом хорд и касательных».
Метод хорд.
Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом хорд с точностью до
.Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом хорд с точностью до
.
1.
а)
;
б)
.
2.
а)
;
б)
.
3.
а)
;
б)
.
4.
а)
;
б)
.
5
. а)
;
б)
.
6.
а)
;
б)
.
7.
а)
;
б)
.
8.
а)
;
б)
.
9.
а)
;
б)
.
10.
а)
;
б)
.
11.
а)
;
б)
.
12.
а)
;
б)
.
13.
а)
;
б)
.
14.
а)
;
б)
.
15.
а)
;
б)
.
16.
а)
;
б)
.
17.
а)
;
б)
.
18.
а)
;
б)
.
19.
а)
;
б)
.
20.
а)
;
б)
.
21.
а)
;
б)
.
22.
а)
;
б)
.
23.
а)
;
б)
.
24.
а)
;
б)
.
25.
а)
;
б)
.
26.
а)
;
б)
.
27.
а)
;
б)
.
28.
а)
;
б)
.
29.
а)
;
б)
.
30.
а)
;
б)
.
Образец выполнения задания.
1.Отделить корни графически уточнить один из них методом хорд до 0,001.
tg( 0,55x+0,1)=x2
Обозначим у1= tg( 0,55x+0,1) у2=x2
Составим таблицу значений:
|
X |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
|
Y2=X2 |
0 |
0,04 |
0,16 |
0,36 |
0,64 |
1 |
|
0,55x+0,1 |
0,1 |
0,21 |
0,32 |
0,43 |
0,54 |
0,65 |
|
Y1 |
0,100335 |
0,213142 |
0,331389 |
0,458621 |
0,59943 |
0,760204 |
Построим график:
Видим, что х[0,6;0,8].
Чтобы уточнить его методом хорд, определим знаки функции на концах отрезка
[0,6;0,8] и знак её второй производной в этом промежутке:
f(0,6)=tg0,43-0,36=0,0986
f(0,8)=tg0,54-0,64=-0,0406
f’(x)=0,55/(cos2(0,55x+0,1))-2x
f’’(x)=0,55×2cos-3(0,55x+0,1)×sin(0,55x+0,1)×0,55-2<0 при х[0,6;0,8].
f’’(x)× f(0,8)>0, значит х0=0,6
Для вычислений используем формулу:
,
где
b=0,8,
x0=0,6.
Вычисления производим в таблице:
|
n |
xn |
|
|
0 |
0,60000 |
-0,14168 |
|
1 |
0,74168 |
-0,0081 |
|
2 |
0,74978 |
-0,00039 |
|
3 |
0,75017 |
-1,9E-05 |
|
4 |
0,75019 |
-8,9E-07 |
Ответ: х0,750.
2. Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом хорд до 0,001.
f(x)=x3-0,2x2+0,5x+1,5
f’(x)=3x2-0,4x+0,5 D=0,16-6<0
Составим таблицу знаков f(x):
|
x |
- |
-1 |
0 |
+ |
|
Sign f(x) |
- |
- |
+ |
+ |
Получаем один действительный корень в промежутке [-1; 0].
Чтобы
уточнить его, найдём
,
в промежутке [-1; 0]
,
f’’(a)× f(х)>0, значит х0=b=0.
Вычисления произведём по формуле:
,
где a=-1, х0=b=0, f(a)= f(-1)-1-0,2-0,5+1,5=-0,2.
Вычисления производим в виде таблицы:
|
n |
xn |
xn3 |
xn2 |
0,2xn2 |
0,5xn |
f(xn) |
f(xn)+0,2 |
xn-a |
h |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1,5 |
1,7 |
1 |
-0,11765 |
|
1 |
-0,88235 |
-0,68695 |
0,77855 |
0,15571 |
-0,44118 |
0,21616 |
0,41616 |
0,11765 |
-0,05654 |
|
2 |
-0,94346 |
-0,83979 |
0,89012 |
0,17802 |
-0,47173 |
0,01045 |
0,21045 |
0,05654 |
-0,05373 |
|
3 |
-0,94627 |
-0,84731 |
0,89543 |
0,17909 |
-0,47313 |
0,00047 |
0,20047 |
0,05373 |
-0,05361 |
|
4 |
-0,94639 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: х-0,946