Лабораторная работа13. Интерполирование функции многочленом Лагранжа.
Пример:
Функция
f(x)=
определена на отрезке [1; 1,2]. Интерполировать
функцию многочленом Лагранжа и найти
значение функции в точке x=1,13.
Дать оценку точности интерполяции.
а) по формуле для неравноотстоящих узлов.
б) по формуле для равноотстоящих узлов.
|
xi |
1 |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
1,2 |
|
|
2,7183 |
2,7732 |
2,8292 |
2,8864 |
2,9447 |
3,0042 |
3,0649 |
3,1268 |
3,1899 |
3,2544 |
3,3201 |
Решение:
а) Вычислим значения многочленов li в точке x=1,13 по формуле:
.
Затем
найдём значение интерполяционного
многочлена Лагранжа в данной точке по
формуле:
.
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
x |
|
xi |
1 |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
1,2 |
|
1,13 |
|
|
2,7183 |
2,7732 |
2,8292 |
2,8864 |
2,9447 |
3,0042 |
3,0649 |
3,1268 |
3,1899 |
3,2544 |
3,3201 |
|
3,0957 |
|
li(x) |
0,0003 |
-0,0035 |
0,0191 |
-0,0655 |
0,1604 |
-0,3208 |
0,8019 |
0,4582 |
-0,0573 |
0,0076 |
-0,0005 |
|
|
Так как L(x) приближает f(x), то f(1,13)≈L(1,13)=3,0957.
б)
Вычислим значения
,
и Пn+1(t)=
в
точке x=1,13.
Получаем:
|
h |
= |
0,02 |
|
|
|
|
|
|
|
t |
= |
6,5 |
|
|
|
|
|
|
|
Пn+1(t) |
= |
6928,308 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
= |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
Далее
воспользуемся формулой
Все вычисления приведены в таблице. | ||||||||
|
i |
xi |
|
(-1)n-i |
t-i |
i! |
(n-i)! |
gi(t) |
gi*f(xi) |
|
0 |
1 |
2,7183 |
1 |
6,5 |
1 |
3628800 |
0,000294 |
0,000798 |
|
1 |
1,02 |
2,7732 |
-1 |
5,5 |
1 |
362880 |
-0,00347 |
-0,00963 |
|
2 |
1,04 |
2,8292 |
1 |
4,5 |
2 |
40320 |
0,019093 |
0,054017 |
|
3 |
1,06 |
2,8864 |
-1 |
3,5 |
6 |
5040 |
-0,06546 |
-0,18894 |
|
4 |
1,08 |
2,9447 |
1 |
2,5 |
24 |
720 |
0,160378 |
0,472264 |
|
5 |
1,1 |
3,0042 |
-1 |
1,5 |
120 |
120 |
-0,32076 |
-0,96361 |
|
6 |
1,12 |
3,0649 |
1 |
0,5 |
720 |
24 |
0,801888 |
2,457705 |
|
7 |
1,14 |
3,1268 |
-1 |
-0,5 |
5040 |
6 |
0,458221 |
1,432767 |
|
8 |
1,16 |
3,1899 |
1 |
-1,5 |
40320 |
2 |
-0,05728 |
-0,18271 |
|
9 |
1,18 |
3,2544 |
-1 |
-2,5 |
362880 |
1 |
0,007637 |
0,024854 |
|
10 |
1,2 |
3,3201 |
1 |
-3,5 |
3628800 |
1 |
-0,00055 |
-0,00181 |
|
|
1,13 |
|
|
|
|
|
∑= |
3,0957 |
где
.
Следовательно, f(1,13)≈3,0957.
Оценим
погрешность интерполяции по формуле
,
где
;
.
Из данной формулы видно, что точность метода достаточно высока.
Задания:
Функция f(x) определена на отрезке [1; 1,2]. Интерполировать функцию многочленом Лагранжа (по формулам для неравноотстоящих и равноотстоящих узлов) и найти значение функции в точке x=1,13. Дать оценку точности интерполяции.
|
xi |
1 |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
1,2 |
|
|
0,3679 |
0,3606 |
0,3535 |
0,3465 |
0,3396 |
0,3329 |
0,3263 |
0,3198 |
0,3135 |
0,3073 |
0,3012 |
|
xi |
1 |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
1,2 |
|
shx |
1,1752 |
1,2063 |
1,2379 |
1,27 |
1,3025 |
1,3356 |
1,3693 |
1,4035 |
1,4382 |
1,4735 |
1,5095 |
|
xi |
1 |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
1,2 |
|
chx |
1,5431 |
1,5669 |
1,5913 |
1,6164 |
1,6421 |
1,6685 |
1,6956 |
1,7233 |
1,7517 |
1,7808 |
1,8107 |
|
xi |
1 |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
1,2 |
|
sinx |
0,8415 |
0,8521 |
0,8624 |
0,8724 |
0,8820 |
0,8912 |
0,9001 |
0,9086 |
0,9168 |
0,9246 |
0,9320 |
|
xi |
1 |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
1,2 |
|
cosx |
0,5403 |
0,5234 |
0,5062 |
0,4889 |
0,4713 |
0,4536 |
0,4357 |
0,4176 |
0,3993 |
0,3809 |
0,3624 |
|
xi |
1 |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
1,2 |
|
lnx |
0,0000 |
0,0198 |
0,0392 |
0,0583 |
0,0770 |
0,0953 |
0,1133 |
0,1310 |
0,1484 |
0,1655 |
0,1823 |
|
xi |
1 |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
1,2 |
|
tgx |
1,5574 |
1,6281 |
1,7036 |
1,7844 |
1,8712 |
1,9648 |
2,0660 |
2,1759 |
2,2958 |
2,4273 |
2,5722 |
|
xi |
1 |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
1,2 |
|
ctgx |
0,6421 |
0,6142 |
0,5870 |
0,5604 |
0,5344 |
0,5090 |
0,4840 |
0,4596 |
0,4356 |
0,4120 |
0,3888 |
|
xi |
1 |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
1,2 |
|
log2x |
0,0000 |
0,0286 |
0,0566 |
0,0841 |
0,1110 |
0,1375 |
0,1635 |
0,1890 |
0,2141 |
0,2388 |
0,2630 |
|
xi |
1 |
1,02 |
1,04 |
1,06 |
1,08 |
1,1 |
1,12 |
1,14 |
1,16 |
1,18 |
1,2 |
|
|
1 |
1,0066 |
1,0132 |
1,0196 |
1,0260 |
1,0323 |
1,0385 |
1,0446 |
1,0507 |
1,0567 |
1,0627 |
