Образец выполнения задания:
1.
Многочленами
Чебышева на множестве точек
(
)
называются алгебраические многочлены,
ортогональные на этом множестве, с
нормой
(
)
, отличной от нуля, и определяемые
следующими рекуррентными формулами:
(
)
(
)
В данном примере
.
Имеем
;
;
;
|
i |
xi |
a |
g0(xi) |
g02(xi) |
g1(xi) |
g12(xi) |
xig12(xi) |
xig0(xi)g1(xi) |
a2 |
b2 |
|
1 |
0 |
|
1 |
1 |
-0,5 |
0,25 |
0 |
0 |
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
1 |
0,5 |
0,25 |
0,25 |
0,5 |
|
|
|
Сумма |
1 |
|
|
2 |
|
0,5 |
0,25 |
0,5 |
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
0,5 |
0,25 |
Далее, используя рекуррентные соотношения, построим функцию
.
|
i |
xi |
g2(xi) |
|
1 |
0 |
-0,5 |
|
2 |
1 |
0,5 |
|
Сумма |
1 |
0 |
Норма
функции
на множестве
не равна нулю и, следовательно, эта
функция является многочленом Чебышева.
2.
|
i |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
yi |
4 |
0 |
1 |
2 |
Составим
ортогональные многочлены Чебышева
,
,
,
на множестве точек
.
Имеем
;
;
;
|
i |
xi |
a |
g02(xi) |
g12(xi) |
g22(xi) |
g32(xi) |
a2 |
b2 |
a3 |
b3 |
|
1 |
0 |
|
1 |
4 |
2,25 |
1,44 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
1 |
1 |
2,25 |
5,76 |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
1 |
1 |
2,25 |
5,76 |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
1 |
4 |
2,25 |
1,44 |
|
|
|
|
|
Сумма |
8 |
|
4 |
10 |
9 |
14,4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2,5 |
2 |
0,9 |
;
;
;
|
i |
xi |
g0(xi) |
g1(xi) |
g2(xi) |
g3(xi) |
|
1 |
0 |
1 |
-2 |
1,5 |
-1,2 |
|
2 |
1 |
1 |
-1 |
-1,5 |
2,4 |
|
3 |
3 |
1 |
1 |
-1,5 |
-2,4 |
|
4 |
4 |
1 |
2 |
1,5 |
1,2 |
Многочлены наилучшего приближения имеют вид:
,
,
,
.
Здесь коэффициенты Фурье определены по формуле:
(
)
|
i |
xi |
g0(xi) |
g1(xi) |
g2(xi) |
g3(xi) |
xig0(xi) |
xig1(xi) |
xig2(xi) |
xig3(xi) |
c0 |
c1 |
c2 |
c3 |
|
1 |
0 |
1 |
-2 |
1,5 |
-1,2 |
4 |
-8 |
6 |
-4,8 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
-1 |
-1,5 |
2,4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
1 |
1 |
-1,5 |
-2,4 |
1 |
1 |
-1,5 |
-2,4 |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
1 |
2 |
1,5 |
1,2 |
2 |
4 |
3 |
2,4 |
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
7 |
-3 |
7,5 |
-4,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,75 |
-0,3 |
0,833 |
-0,33 |
Квадрат наименьшего среднеквадратического отклонения:
|
i |
yi |
yi2 |
c02 |
c12 |
c22 |
c32 |
|
1 |
4 |
16 |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
Сумма |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3,063 |
0,09 |
0,69 |
0,111 |
Тем
самым найдены алгебраические многочлены
наименьшего среднеквадратического
приближения
,
,
,
:
|
i |
xi |
g0(xi) |
g1(xi) |
g2(xi) |
g3(xi) |
c0 |
c1 |
c2 |
c3 |
Q0 |
Q1 |
Q2 |
Q3 |
|
1 |
0 |
1 |
-2 |
1,5 |
-1,2 |
|
|
|
|
1,75 |
2,35 |
3,6 |
4 |
|
2 |
1 |
1 |
-1 |
-1,5 |
2,4 |
|
|
|
|
1,75 |
2,05 |
0,8 |
0 |
|
3 |
3 |
1 |
1 |
-1,5 |
-2,4 |
|
|
|
|
1,75 |
1,45 |
0,2 |
1 |
|
4 |
4 |
1 |
2 |
1,5 |
1,2 |
|
|
|
|
1,75 |
1,15 |
2,4 |
2 |
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,75 |
-0,3 |
0,833 |
-0,33 |
|
|
|
|
Отметим, что
,
,
,
.