Математика Сизов 2011

затем производную от этого логарифма и по производной от логарифма отыскать производную от заданной функции. Такой прием называется способом логарифмического дифференцирования.

Метод логарифмического дифференцирования позволяет находить производную от сложной показательной функции вида

	y uv , где u,v- функции аргумента x.		Логарифмируя обе части
	исходного равенства, получаем:
	ln y v ln u .
	Дифференцируя последнее равенство, имеем:					y/	v/ ln u v u/ .
						y
							u
	Умножая обе части равенства на y			и заменяя y через uv,
	окончательно получаем y/ uv ln u v/ vuv 1u/ .
	/	y (ctg x)		x3	.
	Пример 2. Найти y , если

Решение. Логарифмируя, получим: ln y x3 ln ctg x .

Продифференцируем обе части последнего равенства по x. Так как y является функцией от x, то ln y есть сложная функция x

иln y / 1y y/ . Следовательно,

ln y / x3 lnctg x / x3 / lnctg x x3 lnctg x / ,

или

y/

3x2 lnctg x x3

1

.

y

ctg x

sin2 x

Умножив последнее равенство на

y,

получим

1

1

x3

y/ y 3x2 lnctg x

x3

ctg y

3x2 lnctg x x3

.

ctg x sin2 x

ctg x sin2 x

Методом

логарифмического

дифференцирования

находят

производную от произведения нескольких функций вида

y U V W ,

где , U ,

V , W функции аргумента x. Логарифмируя обе части

исходного равенства, получаем:

ln y ln lnU lnV lnW.

Дифференцируем обе части равенства:

y

U

V

W .

y

U

V

W

Умножая обе части равенства на y и заменяя у через U V W ,

окончательно получаем:

y U V W U V W V U W W U V.

71

Дифференцирование функций, заданных неявно

Если	y	как	функция от		x	задается	посредством
соотношения	F(x,y)=0,		где	F(x,y) – выражение, содержащее				x и y,
то y называется		неявной		функцией	от	x. В некоторых		случаях
уравнение	F(x,y)=0		удается разрешить относительно				y,	и тогда

можно перейти от неявного способа задания функции к явному y=f(x), в других случаях такой переход невозможно осуществить. Независимо от возможности перехода производная от y по x для функции, заданной неявно, может быть определена следующим образом:

- находим производную от левой части равенства F(x,y)=0, учитывая при этом y как функцию от x, и приравниваем ее к нулю.

-разрешаем полученное уравнение относительно y/. В результате будем иметь выражение производной от неявной функции в виде y/= (x,y).

Пример 3.

Найти y/ , если

arctg y – y + x = 0.

Решение. Дифференцируем данное выражение, рассматривая y

как функцию от

x :

arctg y / y / x / 0 ,

y/

y/ 1 0 , y/ y/ 1 y2 1 y2 0 ,

1 y2

y/ y/ y/ y2 1 y2 0 ,

y/ y2 1 y2 ,

y/ 1 y 2

1

1

.

y2

y2

Дифференцирование функций, заданных

параметрически

Если функция y аргумента x задается при помощи

параметрических соотношений x=

x(t), y= y(t),

причем, x(t) и y(t)–

дифференцируемые функции по t и

x

/

//

t 0 , то производные yx ,

yxx ,

yxxx/// ,…, вычисляются по формулам:

y/

/

y

// /

y/

yx/

t

, yxx//

x

t , yxxx///

xx t .

xt/

xt/

xt/

Производную второго порядка можно вычислить и по формуле:

//	y// x/ x// y/
yxx	tt t	tt t	.
	xt/ 3
Пример 4. Найти yxx// , если x=lnt,		y=sin2t.

Решение. Дифференцируем исходные соотношения:

72

					x/		1 ,							y		/	2cos 2t .
						t				t					t
																					yt/
					Отсюда													yx/								2cos 2t									2t cos 2t .
																						xt/									1
																															t
					Найдем производную второго порядка
yxx//					yx/				t/		2t cos2t t/																2t t/ cos2t 2t cos2t t/																				2cos2t 2t 2sin 2t
						xt/																																															1
																	1																			1
																		t																		t																	t
2cos2t 4t sin2t																			t 2cos2t 4t sin2t .
									1
									t
																5.2. Решение типовых задач и примеров
					Пример 1.													Найти y										/	функции										y				3	x	4				3				2x	2	.
																																															x3			x
Решение.																																															/
														3												/												3								1
	/						4															2											4												2	3
				3
y						x							3					2x													x							3			2x
												x				x																				x			x
		1			4					3									2			1	1							4						4						2		/
																				3																3
		3	x												2x											x					3x							2x
									x	3		x
		1			4					3									2				2							4		/							4	/						2	/
																							3																3
		3	x												2x												x								3x					2x
									x	3		x
		1			4					3									2				32								3								4				4	1					2 /
			x												2x												4x					3									x		3		4 x
		3							x3			x																											3
		1			4					3									2				32								3								4				7
			x												2x													4x				3									x		3 4 2x
										3
		3							x			x																											3

73

	1				4								3									2			32						3								4
		x																	2x								4x																	8x
	3											x3				x																			x2 3								x
																1																	3									4
																														4x																	8x
																										2												x2				3 x
									4							3								2
	3 3 x																				2x
															x3			x
																		1																4x					5		3		x 4 8x									3		3	x
																																													2			3
									5				3											3		3			2															x					x
								x								x			3 4x								x
	3		3
																					3
																		x				x
								4x5 3 x 4 8x3 3 x																																								4x5 3 x 4 8x3 3 x
				2												x5			3 x 3 4x3 3 x 2																														3			x5			3	x 3 4x3 3 x 2
	3 x					3 x								3								x2 3 x2																			3 x2 3 x
																																																								3 x2 3 x2
							4x5 3 x 4 8x3																				3 x																			4x5 3 x 4 8x3 3 x
	3 x 73									3 x5 3										x 3 4x3 3 x 2																								13					x5 3 x 3 4x3 3 x 2
																																								3 x 9 3
																							8
																						x9

	4x5 3 x 4 8x3 3 x
		.
	3 x 9 x4 3 x5 3 x 3 4x3 3 x 2

Замечание. Пример считается вычисленным (решенным) до конца, если:

–дробь содержит только два этажа,

–отсутствуют отрицательные степени,

–отсутствуют дробные степени.

74

Пример 2.

y 2ctg7 x ln3 5x2

2

x .

Решение.

x /

2ctg7x / ln3 5x2

x 2ctg7x

y/ 2ctg7x ln3 5x2

2

2

ln3 5x2 2

x / 2ctg7x ln2 ctg7x / ln3 5x2

2

x 2ctg7x 3ln3 1 5x2

2

x

ln 5x

2

x

2

ln2

2

7x

ln

5x

2

2

x 2

2

/

ctg7x

1

/

3

ctg7x

sin 7x

2

2

1

2

/

ctg7x

1

3ln 5x

2

x

5x

2

x

2

ln2

7

2

x

2

5x 2

sin 7x

ln3 5x2

2

x 2ctg7x 3ln2 5x2

2

x

1

5x2 / 2

x /

2

2

x

5x

7 ln 2

2ctg 7 x

ln3 5x2

2

x 2ctg 7 x 3ln 2 5x2

2

x

sin 2 7x

1

2x 2

1

7 ln 2

ctg 7 x

3

5x

2

2 x

5

2

ln

5x

2 2

x

2

x

sin

2 7x

ctg 7 x

2

5x

2

x

1

1

2

3ln

2

10x

5x2 2

x

x

7 ln 2

2ctg 7 x

ln3 5x2

2

x 2ctg 7 x 3ln

2 5x2 2

x

10x

x 1

sin 2 7x

5x2

2 x

x

7 ln 2

2ctg 7 x

ln3 5x2

2

x 2ctg 7 x 3ln 2 5x2

2

x

10x

x 1

.

sin 2 7x

5x2

x 2x

1

Пример 3.

Найти

y/

функции

y

2 arcsin2 tg 6x3 .

Решение.

3 /

/

1

2

1

2

3

/

y

2

arcsin

tg 6 x

2

arcsin

tg 6 x

1

2 arcsin 2 1 tg 6 x3 arcsin tg 6 x3 /

arcsin tg 6 x3

1

2

1 tg 6 x3 2

tg 6 x

3

/

arcsin tg

6 x

3

1

1

6 x

3

/

1 tg 6 x3 2

cos2

6 x3

arcsin tg

6 x

3

1

6

x

3

/

1 tg 6 x3 2

cos2

6 x3

arcsin tg6x3

1

6 3 x3 1

1 tg6x3 2

cos2

6x3

75

arcsin tg 6x3

1

18x2

.

1 tg 6x3 2

cos2 6x3

Пример 4. Найти

y/

функции

y sin x tg x .

Решение. Логарифмируя, получим:

ln y tg x ln sin x .

Дифференцируем обе части равенства по x. Так как y является

/

y/

функцией от x, то ln y есть сложная функция от x и ln y

.

y

ln y / tg x ln sin x / tg x /

ln sin x tg x ln sin x / .

y/

1

ln sinx tgx

1

sinx

/

1

ln sinx tgx

1

cosx

y

2

x

sinx

2

x

sinx

cos

cos

ln sinx 1. cos2 x

Умножив последнее равенство на y, получим
y	/	ln sin x		tg x	ln sin x
		y	1	sin x		cos2 x	1 .
		cos2 x
Пример 5. Найти				y/ функции		arctg xy ln		y3
									.
								x

Решение. Дифференцируем данное выражение, рассматривая y как функцию от x.

arctg

xy ln

y3

0 .

x

/

y

3

/

y

3

/

arctg

xy ln

0

/

,

arctg

xy

0 ,

x

ln

x

1

/

1

3

/

1

1

/

xy

y

0,

xy

1

2

y

3

x

1

xy

2 xy

xy

			x			y3 / x y3 x/
	1		x/ y xy/	x			0 ,
	2 xy 1 xy			y3		x2

xy3 /

0 , y3 x

	1		y xy/	x		3y2 y/ x y3	0,
	2 xy 1 xy			y3		x2

76

y xy/

1

y2 3y/ x y

0 ,

y xy/

3y/ x y

0,

2 xy 1 xy

y3

x

2 xy 1 xy

xy

y

xy/

3y/ x

y

0 ,

2 xy 1 xy

2 xy 1 xy

xy

xy

xy/

3y/ x

y

y

xy

,

2 xy 1 xy

2 xy 1 xy

xy

/

x

3x

y

y

y

;

xy 1 xy

xy

2

xy 1 xy

xy

2

y xy 2y 1 xy

y/

x xy 6x 1 xy

;

2xy 1 xy

2xy 1 xy

/

x

xy 6 1 xy

y

xy 2 1 xy

y

;

2xy 1 xy

2xy 1 xy

xy 6 1 xy

xy 2 1 xy

y/

;

2y 1 xy

2x 1 xy

xy 2 1 xy

xy 2 1 xy

2y 1 xy

y xy 2 1 xy

y

/

2x 1 xy

x xy 6 1 xy

.

xy 6 1 xy

2x 1 xy

xy 6 1 xy

2y 1 xy

y/

y

xy 2y 2xy2

.

x xy 6x 6x2 y

Пример 6.

Найти

y//

функции

y 5tg 2x .

Решение.

y/ 5tg 2x / 5tg 2x ln 5 tg 2x /

5tg 2x ln 5

1

2x /

cos2

2x

5tg 2x ln 5

1

2

5tg 2x

2 ln 5

.

cos2

2x

cos2 2x

//

tg2x

2 ln5 /

5tg2x

/

5tg2x / cos2 2x 5tg2x cos2 2x /

y

5

2ln5

2ln5

2

2

2

2

cos 2x

cos

2x

cos

2x

tg 2 x

2 ln 5

cos

2

2x

5

tg 2 x

2 1

2x

cos 2x

/

5

2cos

cos

2

2x

2ln 5

cos4 2x

77

5tg 2x

2 ln5

5tg 2x 2cos2x sin 2x

2x /

2ln5

cos4 2x

tg 2x

2 ln5

5

tg 2x

2cos 2x sin 2x 2

tg 2x

2ln5

5

4ln5

5

ln5

sin 4x .

cos4 2x

cos4

2x

Пример 7.

Найти yxx//

функции

x t3 t,

4

t

.

Решение.

y

y

/

y/

/

y/

t

,

y//

x

t .

x/

x

/

x

xx

t

t

Найдем составляющие:

t / 3t 2 1.

y/

t 4 /

4t3 ,

x/

t3

t

t

Тогда

y /

y /

4t3

t

.

x /

3t

2 1

x

t

3

3

/

2

3

2

/

4t

/

4t

3t

1

4t

3t

1

/

/

3t

2

1

2

3t2

y

//

yx

t

1

t

xx

x/

3t2 1

3t2

1

t

4 3t

2

3t

2

1

4t

3

3

2t

12t

2

3t

2

1 24t

4

4

2

4

4

2

36t

12t

24t

12t

12t

.

3

3

3

3t2 1

3t2

1

3t2 1

3t2

1

3

5.3. Задания на контрольную работу

1.

Задание 1. Найти производные данных функций

12

3 x

1

3

2.

а) y

1

x

3

4

x

5

2

4

а) y

55

x

,

4

,

4

5

4 x3

4x

3

б)

y sin3

2x 5 2

б)

y

cos3x

33 2 x ,

sin 2 3x

y ln 3 x tg

1 x2

e3 x 2 ,

в)

,

в)

y arcsin 3

x2

г)

y

2 ln x cos x

г)

y tg x 5x 1 ,

д)

tg xy 2x3 5xy2 .

д)

x y 2

sin xy .

78

3.		1				5 x3 1	3
				8
а)	y		x					,
		4				5

б)

y 2x sin2 3x

x2

4 x5

,

в)

y ln

4

1 x4

,

1 x

4

г) y 2 x ln x ,

д)

xy sin x cos x y .

5.

а)

y

3 6x

,

3 2x 5x2

б) y e2 x3

3x

,

3 x4

в)

y arctgsin2 4x ,

г)

y 1 sin 2x ln x ,

д) x3 y3 3xy 0 .

7.

а) y 3

1

66 x4 1 ,

1 x2

б)

y

arctg 4 5x3

,

2x6

в)

y

cos2 4 x

3

x

5

,

3

г) y tg 2x 1/ x ,

д) x3 y2 exy 0 .

9.

а) y 3 3

x 3

5

10

,

x

x

x 3

б) y ln

3

7 x 3

,

x 2

в)

y arctg log32 5x ,

г)

y

x cos x ,

x

д)

arcsin xy ln

.

y

4.		1	x6 8x 4	x 5		,
а)	y 4	6

б)

y

x

,

3ctg2 3x

в)

y ln cos 3x2

6x ,

г) y 1 ln x x ,

д) cos xy y2

sin x .

6.

y

6

x

4

2x

3

а)

6

3

,

x

б) y

3x tg

2

x

,

3

в)

y arcsin ln

1 3x5 ,

г)

y arctg6 x 1

x ,

д) xy2 x2 y ey x .

8.

y

1

x

4

4x

5

а)

3

2

,

4 x

б) y x2 tg3 7x x4 ,

в)

y

1

x

2

,

3cos 3

2

1

г) y 2 ln x x2 ,

д)

x y ey arcsin x .

10.

а)

3x

2

y 3 3 x2

1

5

,

3 x2

б)

y ecos 4 x log24 3x2 4 ,

в)

y 5 5

arcsin3 tg 2x ,

г) y 2 x ln x ,

x

x

2

y

3

д)

tg

.

y

79

	Задание 2.Найти		dy	и	d 2 y
			dx		dx2
	а) y = f(x);
	б) x = x(t), y = y(t).
1.	а) y ecos x 1 2 ;
	б) x cos2t
	y t sin 2t.
3.	а) y artg e4 x ;		6t
		2
	б) x cos 3t
			2

y 6t 6 .

для заданных функций:

2.а) y x 1 x4 ;

		3	t		5
	x t
	б)	4
			.
4.	y t
	а) y 3cos 5x ;
				t
	б) x cos
				2
		sin t.
	y t

5.а)

б)

7.а)

б)

9.а)

б)

y e2 x cos x ;

6.

а)

y 51 / x ;

2cos

3

t

x sin t

2

x

б)

3

y cos 2t.

4sin

t.

y

y x2 1 ln x ;

8.

а) y x ctg 5x ;

x sin 2t

1

x

t

y t cos 2t.

б)

t

.

y x2 3x cos 4x ;

10.

y e

а)

y 2cos2 3x ;

x 52t

x arctg 2t

б)

2

1.

y t

.

y

t

80