§10. Осваиваем технику программирования в Mathcad. Ваша первая программа

При освоении техники программирования (любой, не только в Mathcad) наилучшим способом является решение конкретной задачи и (по его ходу) освоение операторов и приемов. Такой способ имеет специальное название DIY («do it yourself» – «делай сам»). Используем его и мы.

Позиции способа DIY применительно к изучению программирова-

ния:

1.Этап 1. Составить требования к входным данным и к форме выдачи результата.

2.Этап 2. Разобрать способ получения результата, описанный в литературе, или самому разработать способ получения результата. Рассчитать контрольные примеры, иллюстрирующие разные варианты окончания работы алгоритма.

3.Этап 3. Составить алгоритм и представить его в схематичной форме (блок-схема или Исполнитель по А.П. Ершову).

4.Этап 4. Рассчитать контрольные примеры применительно к алгоритму.

5.Этап 5. Составить программу, отладить ее на контрольных при-

мерах.

Опыт показывает, что в этой схеме обязательно будут возвраты и рециклы: никто не умеет составить алгоритм так, чтобы программа сразу заработала без ошибок. Качество программиста измеряется не числом ошибок (их делают все), а скоростью их обнаружения.

Освоим все этапы применительно к разработке программы, содер-

жательная постановка задачи для которой такова:

требуется составить программу для перевода правильной десятичной дроби в новую систему счисления и представить результат в слове с заданным числом позиций.

10.1. Выполнение этапа 1 «Выработка требований к исходным данным и к форме выдачи результата»

10.1.1. Требования к исходным данным. Вначале определяем, что в

данной задаче представляют собой исходные данные. Согласно заданию

всостав исходных данных войдут:

1.Основание новой системы счисления, в которую должна переводиться дробь;

91

2.Число разрядов (если переводится в двоичную систему) или позиций (если система не двоичная), отведенных для представления результата;

3.Правильная десятичная дробь, подлежащая переводу в новую систему счисления.

Поскольку программа имеет форму функции, исходные данные должны быть указаны в виде ее абстрактных аргументов (формальных параметров). Примем обозначения:

osnovanie – основание новой системы счисления;

n_bit – число разрядов или позиций для представления результата;fraction – правильная десятичная дробь, подлежащая переводу в

новую систему счисления;

Z – идентификатор функции, программу для которой предстоит разработать.

В этих обозначениях функция с аргументами будет записана так:

Z(osnovanie, n_bit, fraction)

Позиция 10.1.1 завершена.

10.1.2. Требования к форме выдачи результата. Согласно содержа-

тельной постановке задачи функция Z(osnovanie, n_bit, fraction) должна возвратить массив, j-й элемент которого представляет собой сомножи-

тель, с которым слагаемое Разряд j osnovanie − j входит в представле-

ние дроби fraction в новой системе счисления.

Для того чтобы прочесть и проверить результат, нужно перевести его снова в десятичную форму:

Дес _ знач = [ разряд ]	[основание ]−1 +[ разряд]	2	[основание ]−2 +L
1
	+[ разряд]n _ bit		[основание ]−n _ bit

Например, пусть задано значение основания osnovanie = 2 новой системы счисления. Пусть десятичная дробь, подлежащая переводу, равна: fraction = 0.625. Пусть число разрядов в слове равно n_bit = 8.

Тогда функция должна возвратить массив – строку (1 0 1 0 0 0 0 0 ). Для того чтобы прочесть это число (т. е. пере-

вести его в десятичную форму), рассчитываем:

1 2−1 + 0 2−2 +1 2−3 + 0 2−4 + 0 2−5 + 0 2−6 + 0 2−7 + 0 2−8 = 0.625

Мы знаем, что не всякую десятичную дробь можно точно представить в любой системе счисления, если число позиций для выдачи результата ограничено. Поэтому полезно дополнить состав переменных, возвращаемых функцией, сведениями:

– о погрешности представления дроби fraction в новой системе счисления;

92

– о числе значащих разрядов (если дробь представима точно, то часть разрядов справа будет нулями). В примере, рассмотренном выше, число значащих разрядов равно 3.

Таким образом, определяем перечень переменных, которые должна возвратить функция Z(osnovanie, n_bit, fraction):

Число значащих разрядов Nr;

Массив-строку x из n_bit элементов (столбцов) с результатами перевода дроби в новую систему счисления;

Погрешность ε от перевода десятичной дроби fraction в новую систему счисления.

Состав возвращаемых переменных неоднороден: часть переменных

(Nr, ε) являются простыми переменными, другая часть (x) – массив с индексом j {0, .., n_bit-1}. Как известно, смешанные типы данных назы-

ваются структурами.

Позиция 10.1.2 завершена. Этап 1 завершен.

10.2. Выполнение этапа 2 «Разбор способа получения результата. Расчет примеров»

Алгоритм перевода десятичной дроби в новую систему счисления состоит из последовательности умножения дроби на новое основание, выделения целой части (она записывается в очередную позицию словаответа), вычисления остатка и повторного умножения его на основание

– до тех пор, пока (а) либо не будет получен остаток, равный нулю, либо (б) не будут исчерпаны позиции, отведенные для хранения числа.

Нужно составить примеры для обоих вариантов окончания работы алгоритма.

Пример 1. Пусть число разрядов в слове n_bit = 8. В результате вычислений, показанных на рис. 3.3, число 0.7810 в двоичной системе представлено неточно: (0.1 1 0 0 0 1 1 1)2. Его дробная часть читается «сверху вниз» в ходе последовательных умножений остатка от вычитания целой части на 2.

Проверка:

1 12 +1 14 +0 18 +0 161 +0 321 +1 641 +1 1281 +1 2561 = 0.77734375

Погрешность ε = (0.78-0.77734375) = 0.00265625

Это же значение можно прочесть и при выводе результата: остаток после последнего шага равен 0.68, номер последнего разряда равен 8, тогда погрешность равна: ε = 0.68 × 2 –8 = 0.00265625.

93

0.78Число значащих разрядов получи-

			×2	=	лось равным числу разрядов слова (в при-
	1		1.56		мере 8).
			– 1.00		Пример 2. Перевод правильной де-
			0.56 остаток ≠ 0
			×2	=	сятичной дроби к такой, которая предста-
	1		1.12		вима в новой системе счисления без по-
			– 1.00		грешности. Переводим 0.625 в двоичную
			0.12 остаток ≠ 0		систему. 0.625 × 2 = 1.25, остаток 0.25 × 2
			×2	=	= 0.5, остаток 0.5 × 2 = 1, остаток равен 0.
	0		0.24		Ответ имеет вид: (0.10100000), число зна-
			– 0.00		чащих разрядов равно 3, погрешность
			0.24 остаток ≠ 0		равна 0.
			×2	=	Проверка:
	0		0.48		1	1	1
			– 0.00		1 2	+0 4 +1	8 = 0.625
			0.48 остаток ≠ 0		10.3. Выполнение этапа 3 «Состав-
			×2	=
		0	0.96		ление алгоритма и представление его в
			– 0.00		схематичной форме» (Исполнитель по
			0.96 остаток ≠ 0		акад. А. П. Ершову).
			×2	=	При разборе алгоритма полезно сле-
		1	1.92		дить за операциями по примеру (этап 2).
			– 1.00		ДАНО: создать функцию, переводя-
			0.92 остаток ≠ 0		щую заданную десятичную правильную
			×2	=	дробь в новую систему счисления с за-
	1		1.84		данным основанием. Число позиций для
			– 1.00		представления результата задано.
			0.84 остаток ≠ 0		Идентификаторы аргументов:
			×2	=	osnovanie – основание новой сис-
					темы счисления;
	1		1.68
					n_bit –	число позиций для пред-
			– 1.00
					ставления результата;
			0.68 остаток ≠ 0
					fraction – правильная десятичная
Рис. 3.3. Пример перевода десятич-					дробь, подлежащая переводу в новую сис-
ной дроби в двоичную систему.					тему счисления.
					ПОЛУЧИТЬ: функция Z(osnovanie,
n_bit, fraction) возвращает СТРУКТУРУ {Nr x						ε}

Комментарии:

Nr – число значащих разрядов (позиций) в слове длиной n_bit.

94

x – матрица-строка с числом элементов, равным n_bit. Элемент xj является сомножителем, с которым слагаемое xj × (osnovanie)-(j+1) входит в формулу расчета значения дроби; j = 0,…,n_bit – 1 (нумерация элементов матрицы – с нуля, как это принято в Mathcad);

ε – погрешность представления правильной десятичной дроби fraction в системе счисления с основанием osnovanie в слове с числом позиций n_bit.

Для ОБРАЩЕНИЯ к функции Z(osnovanie, n_bit, fraction) ЗАДАТЬ числовые значения аргументов (osnovanie, n_bit, fraction);

АЛГОРИТМ вычисления функции Z(osnovanie, n_bit, fraction) НАЧАЛО расчета значения функции Z(osnovanie, n_bit, fraction). ПРИСВОИТЬ начальное значение (нуль) счетчику значащих разрядов Nr ПРИСВОИТЬ начальное значение (fraction) переменной c, обозначаю-

щей остаток;

ЦИКЛ ПОКА значение числа значащих разрядов Nr < n_bit ВЫПОЛНЯТЬ

ВЫЧИСЛИТЬ c * osnovanie;

ПРИСВОИТЬ результат вычисления переменной d; ПРИСВОИТЬ элементу массива-строки x0, N r [целую часть d];

ВЫЧИСЛИТЬ ostatok как РАЗНОСТЬ между d и [целой частью d]; ПРИСВОИТЬ переменной c значение переменой ostatok; УВЕЛИЧИТЬ на 1 значение счетчика значащих разрядов Nr;

ЕСЛИ ostatok = 0 ТО ПРЕРВАТЬ ЦИКЛ и ПЕРЕЙТИ к КОМАНДЕ за скобкой КОНЕЦ ЦИКЛА

ПРИСВОИТЬ новое значение ostatok переменной c; КОНЕЦ ЦИКЛА ПОКА…

ЕСЛИ число значащих разрядов Nr меньше заданного числа n_bit разрядов ТО Комментарий: разряды, оставшиеся свободными, заполнить нулями.

ЦИКЛ ДЛЯ КАЖДОГО j = Nr + 1, …, n_bit - 1 ВЫПОЛНЯТЬ ПРИСВОИТЬ нуль j-му элементу массива-строки x0,j; КОНЕЦ ЦИКЛА ДЛЯ КАЖДОГО…

КОНЕЦ ЕСЛИ

ПРИСВОИТЬ переменной ε значение ostatok * osnovanie – n_bit ПРИСВОИТЬ возвращаемые значения структуре

{Nr ×. ε }

КОНЕЦ АЛГОРИТМА Этап 3 завершен.

95