elemen_teorija

Глава 2

КОНЕЧНО-АДДИТИВНЫЕ МЕРЫ, СТУПЕНЧАТЫЕ И ЯРУСНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 2.1. Введение

Настоящая глава является подготовительной. В ней рассматриваются ФМ со свойствами конечной и счетной аддитивности, именуемые мерами и играющие каждая роль инструмента при построении процедур интегрирования, а также в/з функции на фиксированном множестве, обладающие каждая свойством «равномерной аппроксимируемости» простейшими ступенчатыми функциями. Каждая ступенчатая в/з функция принимает лишь конечное число значений, а потому, как будет показано позднее, допускает при построении интеграла очень простое описание последнего — в виде конечной суммы, что, в частности, удобно с точки зрения организации вычислительных процедур. Что же касается в/з функций, допускающих равномерное приближение ступенчатыми и именуемых далее ярусными, то, в естественных для теории интегрирования по к.-а. мере условиях, они образуют, вообще говоря, более широкий класс функций в сравнении с измеримыми. Впрочем, связь ярусных и ограниченных измеримых в/з функций также будет рассмотрена в заключении настоящей главы. Среди всевозможных в/з конечно-аддитивных (к.-а.) мер особо выделяем к.-а. меры ограниченной вариации, которые, с одной стороны, сохраняют при использовании в конструкциях интегрирования многие свойства неотрицательных к.-а. мер, а с другой — позволяют активно применять средства линейного анализа.

Мы рассматриваем различные типы измеримых структур (см. § 1.7): мультипликативные семейства с «нулем» и «единицей» (в [28] такие семей-

80

ства именовались предполуалгебрами), полуалгебры, алгебры и σ−алгебры множеств. Использование последних типично для классической лебеговской теории меры и для аксиоматики А.Н. Колмогорова в теории вероятностей. Для к.-а. теории меры, напротив, более естественны с точки зрения конкретных применений полуалгебры и алгебры множеств. Отметим, что последние широко и по существу использовались при построении весьма общей теории интегрирования в [10, гл. III] (отметим в этой связи также известный результат [38], касающийся оснащения мерами стандартного ИП). Мы особо выделяем ИП с полуалгебрами множеств; эти ИП, с одной стороны, полезны в приложениях (например, при построении расширений задач импульсного управления; см. [35–37] и др.), а с другой, — они «свободны» от некоторых патологий ИП с мультипликативными семействами. В то же время упомянутые ИП с полуалгебрами множеств легко редуцируются к ИП с оснащением в виде алгебры множеств, которые, как уже отмечалось в связи с конструкциями [10, гл. III] (см. также [34]), широко используются в к.-а. теории меры. Отметим, что для ИП с полуалгебрами и алгебрами множеств легко строятся примеры к.-а., но не с.-а., мер. В частности, можно говорить о примерах чисто к.-а. мер в смысле известного разложения Хьюитта-Иосиды [43].

§2.2. Конечно-аддитивные меры на мультипликативном семействе с «нулем» и «единицей»

Всюду в последующем изложении фиксируем, если не оговорено противное, множество E и семейство

L π[E];	(2.2.1)
см. (1.7.1). Напомним в связи с фиксацией (E, L), что (см. § 1.7)
(σ − alg)[E] (alg)[E] Π[E] π[E] P′(P(E));	(2.2.2)

стало быть, в качестве L может (согласно (2.2.2)) использоваться полуалгебра, алгебра или σ−алгебра п/м E. Сейчас, однако, нам достаточно предполагать (2.2.1). Пару (E, L) будем, по аналогии с конструкциями классической теории меры (см., например, [10, 12, 14], [3, 4, 32]), именовать ИП (точнее, ИП с «единицей» E). В этой связи см. также § 1.7. В качестве ФМ мы рассматриваем элементы множества

RL = {L −→ R}

81

всех в/з функций на L; см. § 1.7. Если µ RL, то (см. (2.2.1)) называем µ в/з к.-а. мерой на L, если

n
∑i				(2.2.3)
µ(L) = µ(Li) L L n N (Li)i	1.n		∆n(L, L).
=1

Само свойство (2.2.3) называем конечной аддитивностью ФМ µ. Располагая ИП (E, L), где L удовлетворяет (2.2.1), можно сконструировать различные ФМ со свойством (2.2.3), т. е. различные в/з к.-а. меры на L. В этой связи полагаем, что

	i∑
	n
(add)[L] = {µ RL | µ(L) = µ(Li) L L n N
	=1
	(Li)i 1,n ∆n(L, L)},	(2.2.4)

получая множество всех в/з к.-а. мер на L. Из (1.5.10) и (2.2.4) сразу следует, что OL (add)[L]. Следовательно, (2.2.4) — непустое множество, «составленное» из в/з функций на L. Особый интерес представляют неотрицательные к.-а. меры;

(add)+[L] = {µ (add)[L] | 0 6 µ(L) L L} = {µ (add)[L] | OL 5 µ}
	(2.2.5)
есть (см. (1.5.11)) множество всех неотрицательных в/з к.-а. мер на L; оно
непусто, т. к. OL (add)+[L]. Полагаем далее, что
	(2.2.6)
P(L) = {µ (add)+[L] | µ(E) = 1};

элементы P(L) (2.2.6) логично рассматривать как к.-а. вероятности, имея, однако, в виду то, что в случае L π[E] \ Π[E] возможны ощутимые патологии (см. [27, c. 91, 134]). Наконец, полагаем, что

	(µ(L) = 0) (µ(L) = 1)};	(2.2.7)
T(L) = {µ P(L) | L L

элементы множества (2.2.7) будем называть к.-а. (0,1)-мерами, подразумевая их нормированность на «единице» E.

В связи с использованием знакопеременных к.-а. мер из множества (2.2.4) отметим важное понятие, связанное с ограниченностью полной вариации. Полагаем в дальнейшем, что

	i∑
	n
A(L) = {µ (add)[L] | c [ 0, ∞[: |µ(Li)| 6 c
	=1

82

n N (Li)i		∆n(E, L)};	(2.2.8)
	1,n

элементы множества (2.2.8) именуем к.-а. мерами на L, имеющими огра-

ниченную вариацию. Если µ (add)+[L], L L, n N и (Li)i 1,n

∆n(L, L), то

n	n
∑	∑i	(2.2.9)
| µ(Li)| =	µ(Li) = µ(L)
i=1	=1

с учетом (2.2.4). Это означает в силу (2.2.5) и (2.2.8), что

(add)+[L] A(L).

(2.2.10)

С учетом (2.2.5) — (2.2.7) и (2.2.10) имеем следующую цепочку вложений

T(L) P(L) (add)+[L] A(L) (add)[L] RL;

(2.2.11)

эту цепочку интерпретируем как шкалу (используемых в дальнейшем) к.-а. мер на L. В связи с (2.2.8) имеем µ RL L L

(VAR)L[µ] = {ξ [ 0, ∞[ | n N (Li)i 1,n ∆n(L, L) : ξ =

n
∑i
= | µ(Li)|} P′( [ 0, ∞[)	(2.2.12)
=1

(отметим, что при µ RL и L L всегда |µ(L)| (VAR)L[µ]). В настоящий момент для нас существенно множество (2.2.12) при L = E. Из (2.2.8) и (2.2.12) следует, в частности, что µ A(L) c [ 0, ∞[:

(VAR)E[µ] P′([ 0, c]).

(2.2.13)

Разумеется (см. § 1.3), при µ A(L) имеем, в частности, свойство

(VAR)E[µ] BR↑ ;

поэтому корректно определяется значение

sup((VAR)E[µ]) R,

причем в силу (2.2.13) упомянутая точная верхняя грань неотрицательна (см. § 1.3). Итак,

	(2.2.14)
Vµ = sup((VAR)E[µ]) [ 0, ∞[ µ A(L);

83

мы ввели понятие полной вариации для произвольной к.-а. меры из A(L). Из (2.2.9) и (2.2.12) имеем при µ (add)+[L] и L L, что

(VAR)L[µ] = {µ(L)};

(2.2.15)

в частности, (2.2.15) можно использовать при L = E. Поэтому (см. (2.2.14))

Vµ = µ(E) µ (add)+[L]

(2.2.16)

(учтено (2.2.11), (2.2.14)). Итак, для неотрицательной к.-а. меры полная вариация совпадает со значением этой меры в «точке» E; см. (2.2.16). Из (2.2.6), (2.2.11) вытекает, в частности, что

Vµ = 1 µ P(L).

(2.2.17)

В свою очередь, из (2.2.7), (2.2.11) и (2.2.17) получаем, что

Vµ = 1 µ T(L).

(2.2.18)

Если µ = OL, то в силу (2.2.16) Vµ = 0; см. также (2.2.10). Отметим, что множества (2.2.12) при L ≠ E нам потребуется при рассмотрении ИП с полуалгеброй множеств.

Мы откладываем рассмотрение примеров к.-а. мер с тем, чтобы дать эти примеры в сравнении со с.-а. мерами. Последние рассматриваются в следующем параграфе. Отметим сейчас одно простое следствие (2.2.4):

	µ( ) = 0 µ (add)[L].			(2.2.19)
В самом деле, конструируем (Li)i			∆2( , L) по правилу	L1 = и
		1,2
	(add)[L]
L2 = ; тогда при µ
2
µ( ) = ∑µ(Li) = µ(L1) + µ(L2) = µ( ) + µ( ),

i=1

откуда следует равенство µ( ) = 0.

84

§2.3. Счетно-аддитивные меры на мультипликативном семействе с «нулем» и «единицей»

Мы сохраняем предположение (2.2.1), где E — произвольное фиксированное множество. Сейчас рассмотрим свойство ФМ, более сильное в сравнении с конечной аддитивностью. Упомянутое более сильное свойство широко используется в классической теории меры.

Функцию µ RL условимся называть (знакопеременной) в/з счетноаддитивной (с.-а.) мерой на L, если (см.(1.4.8))

(∑n )

µ(Li)	n	−→ µ(L) L L (Li)i N ∆∞[L; L].	(2.3.1)
		N

i=1

Итак, в (2.3.1) мы снова рассматриваем в/з ФМ. Заметим, что свойство сходимости в (2.3.1) часто изображается в виде

∞
∑i	(2.3.2)
µ(L) = µ(Li),
=1

а сам факт представления L в виде дизъюнктной суммы множеств L1 L, L2 L, . . . часто записывают в виде символического равенства

∞

L = Li.

i=1

Мы сохраняем, однако, форму (2.3.1) по соображениям методического характера. Привлекаем также (2.3.2) для пояснений содержательного характера. При этом

	∑
	n
(σ − add)[L] =	{µ RL | (i=1 µ(Li))n N −→ µ(L)
L L (Li)i N ∆∞[L; L]}		(2.3.3)

(как и в § 2.2, обозначения соответствуют [27, § 5]) есть множество всех в/з с.-а. мер на L. Как и в случае к.-а. мер, вводим «неотрицательную часть» множества (2.3.3), полагая

	6 µ(L) L L} =
(σ − add)+[L] = {µ (σ − add)[L] | 0

85

= {µ (σ − add)[L] | OL 5 µ}.

(2.3.4)

Отметим, что (см. (1.5.10)) OL (σ − add)+[L]; поэтому каждое из множеств (2.3.3), (2.3.4) непусто. В терминах (2.3.4) определяем множество

	(2.3.5)
Pσ(L) = {µ (σ − add)+[L] | µ(E) = 1}.

Элементы множества (2.3.5) интерпретируем как с.-а. вероятности, хотя при L π[E] \ Π[E] возможны патологии, которые мы пока стараемся не замечать (если L Π[E], то термин с.-а. вероятность становится оправданным; однако наиболее совершенная конструкция такого рода отвечает случаю L (σ − alg)[E]; см. (2.2.2)). Наконец,

	(µ(L) = 0) (µ(L) = 1)};	(2.3.6)
Tσ(L) = {µ Pσ(L) | L L

элементы µ множества (2.3.6) называем (0,1)-мерами, ограничивая свое рассмотрение случаем µ(E) = 1. По аналогии с (2.2.19) устанавливается, что

µ( ) = 0 µ (σ − add)[L].

(2.3.7)

e

В самом деле, если ν (σ − add)[L], то для разбиения (Li)iN ∆∞[ ; L], определяемого условиями

L		j	N	,
fj	=
имеем в силу (2.3.3) свойство сходимости
n	e
∑
(i=1 ν(Li))nN			−→ ν( );

( )

иными словами, nν( ) nN −→ ν( ). Однако |nν( ) − ν( )| = (n − 1)|ν( )| при n N . С учетом вышеупомянутой сходимости имеем при ε ] 0, ∞[,

что (n − 1)|ν( )| < ε для всех достаточно больших n N . Точнее, ε

] 0

∞

[

−−→

−

|

|

−−−→

Последнее возможно

,

N

2,

∞

: (n

N,

∞

.

1) ν( )

< ε n

лишь при |ν( )| = 0; см. (1.3.3). Итак, (2.3.7) установлено.

Предложение 2.3.1. Справедливо вложение (σ − add)[L] (add)[L].

Доказательство. Пусть µ (σ − add)[L]. Выберем произвольно

Λ L, N N , (Λi)i		∆N (Λ, L).	(2.3.8)
	1,N

86

Тогда (см. (1.4.9)) из (2.3.8) вытекает, что кортеж (Λi)i 1,N LN обладает свойствами

N

= i 1, N

j 1, N \ {i}).

(2.3.9)

(Λ = i=1 Λi)& (Λi ∩ Λj

Заметим, что (см. (1.3.3)) справедливы следующие равенства

, N

N + 1, =

& 1, N

N + 1, =

.

(

1

−−−−−−∞→

N )

(

∩ −−−−−−∞→

)

С учетом этого полагаем (см. (2.2.1)), что

(Λi)iN LN

(2.3.10)

Λ i , N

j

N + 1, ).

определяется условиями: (Λi

= e i

) & (Λi =

−−−−−−→

1

∞

Ясно, что объединение всех множеств последовательности (2.3.10) совпа-

дает с Λ :

e

e

(2.3.11)

Λ =

Λi;

iN

e

см. (2.3.9). Кроме того, из (2.3.9) имеем по определению

(Λi)iN , что

Λ

∩

Λ =

p

N

q

N \ {

p

}

. В итоге (см. (1.4.8), (2.3.10), (2.3.11))

p

q

e

f

f

получаем свойство:

(2.3.12)

(Λi)iN ∆∞[Λ; L].

Из (2.3.3), (2.3.8) и (2.3.12)

имеем по выбору µ свойство сходимости

e

m

µ(Λi))mN −→ µ(Λ).

(2.3.13)

(i=1

∑

e

µ

(Λ ) = 0

j

N + 1, .

При этом согласно (2.3.7)

−−−−−−→

Последнее означает,

j

∞

m

N + 1,

что (см.(1.3.5), (1.3.20))

−−−−−−→

f

∞

m

N

N

=1

µ(Λi) =

µ(Λi) =

µ(Λi).

e

i=1

e

=1

∑i

∑

∑i

Как следствие, из (2.3.13) получаем равенство

N

µ(Λ) =

µ(Λi).

=1

∑i

87

Поскольку выбор (2.3.8) был произвольным, установлено, что

n
∑i
µ(L) = µ(Li) L L n N	(Li)i	1,n	∆n(L, L).
=1

С учетом (2.3.4) имеем теперь включение µ (add)[L]. Коль скоро выбор µ был произвольным, предложение доказано. 2

Из предложения 2.3.1, (2.2.5) и (2.3.4) следует, что

(σ − add)+[L] (add)+[L].

(2.3.14)

В свою очередь, из (2.2.6), (2.3.5) и (2.3.14) вытекает вложение

Pσ(L) P(L).

(2.3.15)

Наконец, из (2.2.7), (2.3.6) и (2.3.15) вытекает, что

Tσ(L) T(L).

(2.3.16)

Из (2.3.14) – (2.3.16) и предложения 2.3.1 следует, что соответствующие множества с.-а. мер следует рассматривать как п/м аналогичных множеств в пространстве к.-а. мер. На самом деле, в упомянутых соотношениях мы имеем чрезвычайно важные частные случаи мер, которые находят широкое применение в классической лебеговской теории меры. Полезно отметить и то обстоятельство, что в типичных случаях ИП (достаточно говорить об ИП с полуалгебрами множеств) у множеств с.-а. мер, упоминаемых в (2.3.14) – (2.3.16) (а, на самом деле, и у множества всех знакопеременных с.-а. мер ограниченной вариации), существуют своеобразные «антиподы» в виде множеств, составленных из так называемых чисто к.-а. (вполне к.-а.) мер. Это связано с так называемым разложением Хьюитта-Иосиды (см. [43]). Однако сейчас мы не будем их детально рассматривать, ограничиваясь краткими замечаниями и примерами. Это связано с тем, что нашей основной целью является реализация идеи интегрирования. Более общие конструкции к.-а. теории меры изложены в [10, гл. III, IV], [34]. Особо отметим оригинальные работы [40, 41]. Вопросы классической теории меры подробно изложены во многих монографиях и журнальных статьях. Сейчас отметим только [10,12,14], [3,4,23,32], а также оригинальные работы Лебега (см., например, [20]), которые определили принципиально новый взгляд на конструкции интегрирования, допускающие, в частности, интегрирование существенно разрывных функций. Большой вклад в построение классической теории меры внесли советские и российские математики;

88

сейчас особо отметим исследования А.Н. Колмогорова (см., в частности, [15,16]) и Н.Н. Лузина [21]. В частности, с именем А.Н. Колмогорова связано построение наиболее плодотворной аксиоматики теории вероятностей; см. в этой связи [16,23,32].

§2.4. Примеры

Внастоящем разделе мы рассматриваем только самые простые иллюстративные примеры к.-а. и с.-а. мер. Анализ этих примеров не требует знания каких-либо специальных конструкций теории меры.

Рассмотрим сначала простейшую с.-а. меру, а именно: меру Дирака, сосредоточенную в фиксированной точке множества E. Итак, пусть x E, ФМ

δx : P(E) −→ {0; 1}				(2.4.1)
определяется условиями: если H P(E), то			)	).
(	)	(
((x H) = δx(H) =	1	)& ((x ̸ H) = δx(H) =	0

Здесь в обозначении ФМ (2.4.1) мы не использовали параметр E (от него зависит область определения упомянутой ФМ) по одной только причине, оговоренной в § 2.2 : в настоящей главе множество E предполагается зафиксированным. В согласии с (1.1.25) и (1.1.26) получаем тогда, что ФМ

(δx | L) : L −→ {0; 1}

(2.4.2)

обладает следующими свойствами: если L L, то (δx | L)(L) = 1 при x L и (δx | L)(L) = 0 при x / L. Вполне очевидно следующее

Предложение 2.4.1. Справедливо включение (δx | L) Tσ(L).

Доказательство. Отметим сразу, что (δx | L)(E) = 1. Выберем произвольно L L и (Li)iN ∆∞[L; L]. Тогда L есть объединение всех

множеств Li, i N ; кроме того, Li1 ∩ Li2 = при i1 N, i2 N \ {i1}. Возможен один из следующих двух случаев:

(x L) (x / L).								(2.4.3)
1) Пусть x L. Тогда (δx | L)(L) =				1 и, кроме того, !i N : x Li.
Пусть n N таково, что x Ln. При этом, конечно, x / Lj								j N \ {n}.
Разумеется,					−−→
n 1, k			k				.
					n,	∞

89