TPI_slaydy

Условие Маршака для P3

	0	0	3	2n +1
	∫ϕ(z = H , μ) P2k +1	(μ)dμ ≈ ∫	∑		ϕn (H ) Pn (μ) P2k +1 (μ)dμ = 0
				2
	−1	−1 n=0

k = 0,1

3

∑an ϕn (H )= 0

n=0

3

∑bn ϕn (H )= 0

n=0

an = (2n +1) ∫0 μ Pn (μ)dμ

−1

bn = (2n +1) ∫0 (5μ3 −3μ) Pn (μ)dμ = 5 (2n +1) ∫0 μ3 Pn (μ)dμ −3an

−1 −1

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

5.9. Редукция уравнений P2 к P1

(1)

dϕ1 (z)

+Σ0 ϕ0 (z) = q0 (z)

dϕ

(z)

dz

1

+Σ0 ϕ0 (z) = q0

(z)

dϕ0 (z)

dϕ2 (z)

dz

+ 2

+3Σ

ϕ (z)

= 3q (z)

(2)

1

dϕ

(z)

dz

dz

1

1

0

+3Σ1 ϕ1 (z) = 3q1 (z)

dz

2

dϕ1 (z)

+5Σ2 ϕ2 (z) = 5q2 (z)

(3)

dz

(1)

dϕ1 (z)

= q0 (z)−Σ0 ϕ0 (z)

dz

q2 (z)

2

dϕ1 (z)

q2 (z)

2

(3)

ϕ2 (z) = 5

−

=

−

(q0 (z)−Σ0 ϕ0 (z))

5Σ2

dϕ0 (z)

Σ2

5Σ2

dz

Σ2

(2)

+ 2

dϕ2 (z)

+3Σ1 ϕ1 (z)

=

d

[ϕ0 (z)+

2ϕ2 (z)]+3Σ1 ϕ1 (z) = 3q1 (z)

dz

dz

dz

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Редукция уравнений P2 к P1

d

q2 (z)

2

(q0 (z)−Σ0 ϕ0

+3Σ1 ϕ1 (z) = 3q1 (z)

−

dz

ϕ0 (z)+ 2

Σ2

5Σ2

(z))

d

4Σ0

ϕ0 (z)+

2

(5q2 (z)− 2q0 (z)) +3Σ1 ϕ1 (z) = 3 q1 (z)

1+

dz

5Σ

5Σ

2

2

dΦ0

+3Σ

Φ

1

= 3 Q

dz

1

1

Q1 = q1 (z),

−1

4Σ0

Φ1 =ϕ1 (z),

α

= 1+

5Σ2

Φ0

=α−1 ϕ0

(z)+

2

(5q2 (z)− 2q0 (z))

корректирующий

5Σ2

множитель

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Редукция уравнений P2 к P1

2

ϕ0 (z)=α Φ0 −

5Σ2

(5q2 (z)−2q0 (z))

dϕ1 (z)

+Σ0 ϕ0 (z) = q0 (z)

dz

dΦ1

2

+Σ0

α

Φ0 −

(5q2

(z)−2q0

(z))

= q0 (z)

dz

5Σ

2

dΦ1

+Σ0 α Φ0

= q0

(z)+

2

(5q2 (z)−2q0 (z))

dz

5Σ

2

dΦ1

+

Φ

= Q

Σ

0

0

dz

0

Q = q

(z)+

2

(5q

(z)−2q

(z)),

=α Σ

Σ

0

0

0

0

5Σ2

2

0

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Расчет с повышенной точностью

Q0

= q0

(z)+

2

(5q2

(z)−2q0 (z)),

Q1 = q1 (z)

1. Расчет функ-

5Σ2

ций и констант

−1

4Σ0

α

=

Σ0 =α Σ0

1+

,

5Σ2

dΦ1

+

0 Φ

0 = Q0

2. Решение уравнения по алгоритму

Σ

dz

P1 и получение Φ0 и Φ1

dΦ0

+3Σ1 Φ1 = 3 Q1

dz

3. Обратный пересчет моментов решения φ0

и φ

1

2

(5q2 (z)−2q0

(z)= Φ1

Φ0 −

ϕ1

ϕ0 (z)=α

5Σ2

(z)) ,

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Повышенная точность P1

ϕ2	(z) =	q2 (z)	−	2	(q0 (z)−Σ0 ϕ0 (z))
		Σ2		5Σ2

3. Получение φ(z,μ) повышенной точности (P2)

ϕ(z, μ) ≈ ∑2 2n2+1 ϕn (z) Pn (μ)

n=0

Алгоритм приближения P1 повышенной точности

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

5.10. Конечно-разностная аппроксимация уравнений P1

Метод конечных разностей (метод сеток) — это метод

интерполяции, он состоит в аппроксимации искомой не-

прерывной функции совокупностью ее значений, рассчитанных в некоторых точках области – узлах. Совокупность узлов, соединенных определенным образом, образует сетку. Сетка является дискретной моделью области опре-

деления искомой функции. Производные заменяют на отношения конечных разностей, что позволяет свести

решение дифференциального уравнения к решению его

разностного аналога, т.е. построить его конечно-разност- ную схему. Дифференциальная краевая задача сводится к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений функций.

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Конечно-разностная аппроксимация

dϕ(z)

+Σ ϕ(z) ≈

ϕi +Σ ϕi =

ϕi+1 −ϕi +Σ ϕi = 0, h ≡ zi+1 − zi

dz

zi

h

ϕi+1 = (1−hΣ) ϕi

ϕ(0) =1,

Σ = −1,

h =

1

Сеточная аппрокси-

мация непрерывной

функции

φi+1

φi

	0					1			2			3
Огородников И.Н.						zi			zi+1
[e-mail]				Теория переноса излучения

Интегрирование уравнений

Основная идея построения модели на основе интег-

ральных уравнений заключается в переходе от исход-

ного дифференциального уравнения к эквивалентному интегральному уравнению, подлежащему дальнейшим преобразованиям.

	dϕ(z)	+ Σ ϕ(z) = 0	→		dϕ(z) = −Σ ϕ(z)dz
	dz
ϕ( zi+1 )		zi+1					zi+1
	∫dϕ(z) = −Σ ∫ϕ(z) dz → ϕ(zi+1 ) −ϕ(zi ) = −Σ ∫ϕ(z) dz
	ϕ( zi )	zi					zi
		zi+1
ϕ(zi+1 ) =ϕ(zi ) −Σ ∫ϕ(z) dz
		zi
Огородников И.Н.							Теория переноса излучения
[e-mail]

Конечно-разностная аппроксимация

уравнений P1

		dϕ1 (z)					+Σ0 ϕ0 (z) = q0 (z)
		dz
	dϕ		0	(z)			+3Σ1 ϕ1 (z) = 3q1 (z)
		dz

w≈ϕ0(z) v ≈ϕ1(z)

f0 ≈ q0 (z) f1 ≈ q1 (z) x ≈ z

Огородников И.Н. [e-mail]

ddvx +Σ0 w = f0

1 dw +Σ1 v = f1

3 dx

w(x = 0) + 2v(x = 0) = 0

w(x = H ) −2v(x = H ) = 0

Теория переноса излучения