TPI_slaydy

2. Вычисление критического размера

шарового гомогенного реактора

NS

A. Качественное рассмотрение

Σf

r

работы реактора

NV = k1 V

NS = k2 S

NV

NS

=

k2

S

= k

4πr

2

=

3k

NV

k1

V

4

πr

3

r

3

NS

>1

затухание

NS

реактор

NV

NV

=1

NS

<1

«взрыв»

R 0

= 3k

критический радиус

NV

Огородников И.Н.

Теория переноса излучения

[e-mail]

B. Решение диффузионной задачи

D ϕ +(ν Σf −Σa ) ϕ = 0

q =ν Σf ϕ

a) ν Σf < Σa

b) ν Σf = Σa

c) ν Σf > Σa

a) ν Σf

< Σa

Σ

a

−ν Σ

f

2

2

κ

> 0; κ > 0;

ϕ −κ ϕ = 0

=

D

∂2

1

∂

∂

1

∂

∂

1

≡

r2

+

sinθ

+

r2

∂r

r2 sinθ

∂θ

∂θ

r2 sin2

θ

∂ψ 2

∂r

1

∂

2

∂ϕ

2

u(r)

r

−

κ ϕ = 0

ϕ(r) =

r2

∂r

∂r

r

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Граничные условия I

		d2u	−κ2u = 0				u(r) = A exp(−κ r)+
		dr2
	ϕ(r) = A			exp(−κ r)			+ B	exp(κ r)
				r				r

I. Граничные условия в центре шара (r

	jr = −D	dϕ				dϕ			= 0
				= 0
		dr				dr
				r=0					r =0

требование ограниченности функции

ϕ(r)		A			1−κ r +	κ2 r2 −	κ3 r3 +L		+
		r				2	6
+	B				1+κ r +	κ2 r2 +	κ3 r3 +L		=
		r				2	6

Огородников И.Н. [e-mail]

B exp(κ r)

→0)

ϕ(r) при r → 0

Теория переноса излучения

Граничные условия I

= A

1

−κ + κ2 r − κ3 r2

+L

+ B

1

+κ + κ2 r + κ3

r2 +L ;

2

6

2

6

r

r

1

1

1

limϕ(r) = lim A

−κ

+ B

+κ

= lim

(A + B)−κ(A − B)

r→0

r→0

r

r

r→0

r 123

=0

A = −B

exp(−κ r)

exp(κ r)

2B

κ r

−e

−κ r

ϕ(r) = (− B)

+ B

=

e

r

r

r

2

ϕ(r) = C

sh(κ r)

r

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Граничные условия II

II. Граничные условия на поверхности шара (r =R0)

ϕ

dϕ

j− =

2

+ D

= 0

dr r =R

0

sh(κ r)

[κ r ch(κ r)−sh(κ r)]

C

+ D

= 0;

2r

r

2

r =R

CD κ sh(κ r)

0

≠ 0

r ≠ 0

y ≡κ R > 0

r

0

1

1

+cth

y

−

1

= 0

F

( y) ≡

−cth y

2κ D

y

y

F( y) =

1

> 0

Исследовать F(y)

2κ D

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Исследование F(y)

II. Граничные условия на поверхности шара (r =R0)

F(y)

1

F( y) ≡

1

−cth y

y [0, ∞[

1

2κ D

y

0

2

y

1.

Определим F(y→0)

неопределенность 0/0 раскры-

F(0)=0

ваем по правилу Лопиталя

2. Знак производной

dF( y)

1

1

При ν Σf

< Σa

dy

= −

+

< 0

y2

sh2 y

нет положительного решения

y3

y5

для r = R0 > 0

sh y = y +

+

+L> y

3!

5!

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Функция Ланжевена

1

L(y)	1
	L( y) ≡ cth y − y

0	наша функция

F( y) = −L( y)

				F(y)
-1	-5	0	5	10
-10

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

b) Случай ν·Σf = ΣA

D ϕ = 0

ϕ = 0

1

∂

∂ϕ

r2

= 0

r2

∂r

∂r

ϕ(r) =

A

+ B

r

ϕ = const

A = 0

ϕ

+ D

dϕ

= 0

B = 0

dr

2

R

0

Из качественного рассмотрения было получено ϕ = const

Вывод: это случай неустойчивого процесса

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

c) Случай ν·Σf > ΣA

ν Σ

f

−Σ

a

2

2

κ

κ > 0;

ϕ +κ ϕ = 0

=

D

> 0;

∂

∂

∂2

1

1

∂

∂

1

≡

r2

+

sinθ

+

r2

∂r

r2 sinθ

r2 sin2 θ

∂ψ 2

∂r

∂θ

∂θ

1

∂

2

∂ϕ

2

u(r)

r

+

κ ϕ

= 0

ϕ(r) =

r2

∂r

∂r

r

d2u

+κ2u = 0

u(r) = A sin(κ r)+ B cos(κ r)

dr2

ϕ(r) =

A

sin(κ r)

+ B

cos(κ r)

B = 0

r

r

требование ограниченности функции ϕ(r)

при r → 0

Огородников И.Н.

[e-mail]				Теория переноса излучения

Краевая задача на поверхности шара

ϕ(r) = A

sin(κ r)

r

j

(R ) =

ϕ

+ D

dϕ

= 0

−

0

2

dr R

0

sin(κ r)

κ r

cos(κ r)−sin(κ r)

A

+ D

2

= 0

2r

r

A D κ sin(κ r)

≠ 0

поделим

r

1

+ctg y −

1

= 0

y ≡κ r > 0

2κ D

y

F ( y) ≡

1

−ctg y

1

= F ( y) > 0

y

2κ D

Огородников И.Н.

Теория переноса излучения

[e-mail]