TPI_slaydy

3.3. Вывод кинетического уравнения

Уравнение баланса количества частиц одного пучка

Ограничения

1.Все частицы имеют одинаковые энергии (скорости)

2.Частицы не взаимодействуют между собой

3.Квантовыми эффектами пренебрегаем

NV =	NQ + NΩ -			NA - NS - NSUR
		r		r
NV = ∫dΩ∫[n(rr, Ω,t			+	t) − n(rr, Ω,t)]dV
ΔΩ	V	r		r
ΔΩ ∫[n(rr, Ω,t +				t) − n(rr, Ω,t)]dV

Огородников И.Н.	V
					Теория переноса излучения
[e-mail]

Вычисление компонентов

NQ = ∫dt ∫dΩ∫q(rr, Ω,t) dV ΔΩ t ∫

t ΔΩ	V	r	r		V
N A = ∫dt ∫dΩ∫ΣA ϕ(r , Ω,t) dV					ΔΩ
t ΔΩ	V	r	r
NS = ∫dt ∫dΩ∫ΣS ϕ(r ,			Ω,t) dV		ΔΩ
t ΔΩ	V	r
NSUR = ∫dt ∫dΩ∫(rj (rr, Ω,t) nr)dS ΔΩ
t ΔΩ	S r	r	r	r
= ΔΩ	t ∫Ω ϕ	(r , Ω,t) dS			= ΔΩ

q(rr, Ω,t) dV

t ∫ΣA ϕ(rr, Ωr,t) dV

V

r r

t ∫ΣS ϕ(r , Ω,t) dV

V

t ∫(Ωr nr) ϕ(rr, Ωr,t) dS =

S

t ∫ (Ωr ϕ(rr, Ωr,t))dV =

S

r

r

r

V

r

r

r

= ΔΩ t ∫Ω ϕ(r

, Ω,t) dV + ΔΩ t ∫ϕ(r

, Ω,t) Ω dV =

V

r

r

r

V

NSUR = ΔΩ

t ∫Ω ϕ(r

, Ω,t) dV

Огородников И.Н.

V

Теория переноса излучения

[e-mail]

Интеграл рассеяния

Ω′

r

′

P = P(r ,

Ω Ω , ΔΩ)

r

r

dV

α

∫g(rr, Ω Ω′)dΩ =1

Ω

4π

Ω′

индикатриса рассеяния

r

r r

r r

′

dΩ′

g(rr, Ω Ω′)= dP

ΔΩ

= lim

P(r , Ω Ω , ΔΩ)

d(ΔΩ)

ΔΩ→0

ΔΩ

r

′

′

dV

CS = t ΣS ϕ(r , Ω ,t) dΩ

r

r r

′

)= ΔΩ

r

r

′

r

r r

′

′

dV

CS ΔΩ g(r , Ω Ω

t ΣS ϕ(r ,

Ω ,t) g(r , Ω Ω

)dΩ

NΩ = ΔΩ

r r′

r

r

r′

)dΩ

′

t ∫dV ∫ΣS ϕ(r , Ω ,t) g(r , Ω Ω

r

rV

4π

r r

r

r

r

интеграл

I (r , Ω,t)= ∫

ΣS ϕ(r , Ω′,t) g(r ,

Ω Ω′)dΩ′

рассеяния

Огородников И.Н.

4π

Теория переноса излучения

[e-mail]

Вывод кинетического уравнения

NV +(

N A +

NS )+ NSUR −

NQ − NΩ = 0

r

r

r

r

r

n(r , Ω,t + t)

− n(r , Ω,t)

ΔΩ

t ∫

+Σ ϕ +Ω ϕ − q − I dV = 0

t

V

144444444424444444443

=0

t → 0

r

r

r

r

r

r

r

∂n(r , Ω,t)

+Σ ϕ(rr, Ω,t)

+ Ω ϕ(rr, Ω,t)

−q(rr, Ω,t)

− I (rr, Ω,t)

= 0

∂t

r

r

r

r

r

r

r

1

∂ϕ(r , Ω,t)

+ Ω ϕ(rr, Ω,t)

+Σ ϕ(rr, Ω,t) = I (rr, Ω,t) + q(rr, Ω,t)

v

∂t

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Кинетическое уравнение переноса

			r r	r	r	r
	1		∂ϕ(r , Ω,t)
				+ Ω ϕ	(rr, Ω,t) +Σ(rr) ϕ(rr, Ω,t)		=
	v		∂t
					r r r r′	r r	′	′	r r
				= ∫
					ΣS (r ) g(r , Ω Ω	) ϕ(r , Ω ,t) dΩ			+ q(r , Ω,t)
				4π

Ωr ϕ(rr, Ωr) +Σ(rr) ϕ(rr, Ωr) =

= ∫ΣS (rr) g(rr, Ωr Ωr′) ϕ(rr, Ωr′) dΩ′+ q(rr, Ωr)

4π

стационарное кинетическое уравнение

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

3.4. Граничные условия

А. Начальные условия	ϕ(rr, Ω,t = t0 ) = f (rr, Ω)
Б. Граничные условия	ϕ(rr = rr0 , Ω,t) = Ψ(Ω,t)

Нет ограничений на формулировку краевой задачи

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Пример краевой задачи 1

1. Граница невогнутого тела без источников с пустотой

j-= 0	Односвязное невогнутое тело, в
	пустоте нет источников.
n	j− = 0

	S		r	r	r	r
	q
		(Ω n) ϕ(rS , Ω,t)= 0
			r	r
		(Ω n)≤ 0

Возможные источники сосредоточены в невогнутом

теле, плотность которого много больше плотности окружающей среды

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Пример краевой задачи 2

	B		S	A
		V
	n2			n1
		l	l
	S2			S1

	NV =	NQ + NΩ - NA -					NS - NSUR
	Пусть V→0 путем S1 → S и S2 → S
0 = lim[ N			]= lim			(Ω nr) ϕ(rr , Ω,t) dS			=
					∫	r		r
	l→0	SUR	l→0				S
				S

liml→0

∫

r

r

r

r

(Ω nr1 ) ϕ(rrS1

, Ω,t) dS + ∫

(Ω nr2 ) ϕ(rrS 2

, Ω,t) dS

=

S1

S 2

r

r

r

r

n = n1 = −n2

lim

∫

[(Ω nr) ϕ(rrS1

, Ω,t)

−(Ω nr) ϕ(rrS 2 , Ω,t)]dS

l→0

14444444244444443

S1

=0

r

r

r

r

(Ω nr) ϕ(rr

, Ω,t) =

(Ω nr) ϕ(rr

2

, Ω,t)

S1

S

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

3.5. Кинетическое уравнение в декартовой системе координат

Ωвсегда задается в сферической системе координат

1. Представление оператора

(

r

)

Ω

r

r

∂

∂

∂

(Ω )= ΩX

+ΩY

+ ΩZ

=

∂x

∂y

∂z

= (sin θ cosψ )

∂

+ (sin θ sin ψ )

∂

+(cos θ)

∂

=

∂x

∂y

∂z

∂

∂

∂

=

ψ

+

ψ

μ

μ ≡ cos θ

θ

+

sin

cos

sin

∂x

∂y

∂z

r

r

∂

∂

∂

(Ω )= 1− μ

2

+sin ψ

+ μ

cosψ

∂x

∂z

∂y

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

2. Скалярное произведение векторов

r
μ0 ≡ (Ω Ω′)= (ΩX Ω′X )+ (ΩY Ω′Y )+ (ΩZ Ω′Z )=
(sin θ cosψ sin θ′cosψ ′)+ (sin θ sin ψ sin θ′sin ψ ′)+ (cos θ cos θ′)=
			+ (cos θ cos θ′)=
sin θ sin θ′ cosψ cosψ ′+sin ψ		sin ψ ′
	14444244443
	cos(ψ −ψ ′)

=sin θ sin θ′ cos(ψ −ψ ′)+ cos θ cos θ′

μ0 = μ μ′+ 1− μ2 1−(μ′)2 cos(ψ −ψ ′)

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]