TPI_slaydy

Сферические функции

3. Сферические функции Yn(m)(μ,ψ)

Yn(m)(μ,ψ) – решения уравнения Лапласа в сферических координатах

P

(m)

(μ) sin(m ψ ),

0 < m ≤ n

(m)

Y

(μ,ψ ) =

n

(μ) cos(

ψ ),

n

P (

m

)

m

−n ≤ m ≤ 0

n

Y

(m)

(μ,ψ ) = P (μ),

m = 0

n

n

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Условие ортогональности

2π

1

2π(1+δ

)

(n +

m

)!

, (1)

(m1)

(m2)

m0

2n +1

(n −

m

)!

∫dψ ∫Yn1

(μ,ψ ) Yn2

(μ,ψ ) dμ =

0

−1

0,

(2)

(1) n1 = n2 = n; m1 = m2 = m;

(2) все остальные случаи

δij

0,

i ≠ j

дельта символ Кронекера

=

i = j

1

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

5.2. Разложение в ряд по сферическим гармоникам

r

r

∞

n

2n +1

(n −

m

)!

r

(m)

ϕ(r , Ω) = ∑ ∑

ϕnm (r ) Yn

(μ,ψ )

(1)

2π(1+δm0 )

(n +

m

)!

n=0 m=−n

2π

1

r

ϕnm (rr)= ∫dψ ∫ϕ(rr, Ω) Yn

(m) (μ,ψ )dμ

(2)

0

−1

r

r

r

r

r

Ω ϕ(r

, Ω) + Σ(r ) ϕ(r , Ω) =

r r′

r′

r

r

r

r

′

r

= ∫ΣS (r ) g(r

, Ω Ω

) ϕ(r

, Ω ) dΩ

+ q(r

, Ω)

4π

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Технология МСГ

1.Подставим ряд (1) в кинетическое уравнение переноса.

2.Домножаем левую и правую часть на Yk(m1)(μ,ψ).

3.Интегрируем левую и правую части как в условии

ортогональности. Ряды обрушиваются. От каждого ряда остается по одному члену с n=k, m=m1.

4.Выполняем пункты пп.1-3 для всех k=0…∞. -k < m1 < k.

5.Получили бесконечную систему уравнений

относительно φnm(r).

Где угловая зависимость теперь?

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

5.3. МСГ для плоско-параллель- ной задачи

1. Разложение в ряд при азимутальной симметрии

2π

1

r

ϕnm (rr)= ∫dψ

∫ϕ(rr, Ω) Yn(m) (μ,ψ )dμ

0

−1

1

2π sin(m ψ ),

0 < m ≤ n

∫ϕ(z, μ) Pn(

m

) (μ)

∫

m

ψ ),

dψ dμ

−1

0 cos(

−n ≤ m ≤ 0

ϕn (z)= 2π ∫1 ϕ(z, μ) Pn (μ)dμ →

ϕn (z)= ∫1 ϕ(z, μ) Pn (μ)dμ

−1

−1

∞

∞

2n +1

ϕ(z, μ) = ∑

2n +1

ϕn (z) Pn (μ)→

ϕ(z, μ) = ∑

ϕn (z) Pn (μ)

2

n=0

4π

n=0

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Физический смысл коэффициентов

1	1
ϕn=0 (z)= 2π ∫ϕ(z, μ) Pn=0	(μ)dμ = 2π ∫ϕ(z, μ) dμ =ϕ(z)
−1	−1

ϕn=1 (z)= 2π ∫1 ϕ(z, μ) Pn=1 (μ)dμ = 2π ∫1 μ ϕ(z, μ) dμ = j(z)

−1 −1

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

МСГ технология (1)

2. Технология МСГ для ПП-задачи

μ

∂ϕ

1

′

′

′

+ q(z, μ)

∂z

+Σ ϕ = ΣS ∫g(z, μ, μ ) ϕ(z, μ ) dμ

−1

μ ∂ϕ

→ μ

d ∑2n +1 ϕn (z) Pn

(μ)= μ

∑2n +1

dϕn (z) Pn (μ)

∞

∞

∂z

dz

n=0

2

n=0 2

dz

dϕn (z)

∞

2n +1

Pn (μ) Pk (μ),

μ ∑

k = 0,1K∞

dz

n=0

2

1

∞

2n +1

dϕn (z)

Pn (μ) Pk (μ)dμ =

∫

μ ∑

−1

n=0

2

dz

dϕn (z)

∞

2n +1

1

(μ) Pk (μ)dμ

= ∑

∫μ Pn

2

dz

n=0

−1

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

МСГ технология (1)

(n +1)Pn+1 (μ) − μ(2n +1)Pn (μ) + nPn−1 (μ) = 0

μ P (μ)

=

1

((n +1)P

(μ) + nP

(μ))

n

2n +1

n+1

n−1

∞

2n +1

dϕn (z)

1

∑

∫μ Pn (μ) Pk (μ)dμ =

2

dz

n=0

−1

∞

dϕn (z)

1

1

∑

∫((n +1)Pn+1 (μ) + nPn−1 (μ)) Pk (μ)dμ =

2

n=0

dz

−1

∞ dϕ

n

(z)

(n +1) 1

n 1

∑

∫Pn+1 (μ) Pk (μ)dμ +

∫Pn−1

=

dz

2

2

(μ) Pk (μ)dμ

n=0

−1

−1

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

МСГ технология (1)

∞ dϕ		n	(z)			(n +1) 1		n 1
∑							∫Pn+1 (μ) Pk (μ)dμ +		∫Pn−1		=
	dz					2		2		(μ) Pk (μ)dμ
n=0							−1		−1

=

dϕk −1 (z)

k

+

dϕk +1 (z)

k +1

=

2k +1

2k +1

dz

dz

(z)

1

dϕ

k +1

(z)

dϕ

k −1

=

(k +1)

+ k

2k +1

dz

dz

∂ϕ

1

dϕ

k +1

(z)

dϕ

k −1

(z)

μ

→

(k +1)

+ k

∂z

2k +1

dz

dz

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

МСГ технология (2)

	Σ ϕ(z, μ) → Σ ∑2n +1 ϕn (z) Pn (μ)=
								∞
								n=0 2
		∞
	Σ ∑		2n +1			ϕn (z) Pn (μ) Pk (μ),					k = 0,1K∞
		n=0		2
	1	∞		2n +1				ϕn (z) Pn (μ) Pk (μ)dμ =
	∫	Σ ∑
				2
	−1	n=0
		∞			2n +1			1
	= Σ ∑							ϕn (z) ∫Pn (μ) Pk (μ)dμ = Σ ϕk (z)
		n=0		2				−1

Σ ϕ(z, μ) → Σ ϕk (z)

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]