TPI_slaydy

МСГ технология (4)

q(z, μ) → Σ ∑2n +1 qn (z) Pn (μ)=
							∞
							n=0 2
∞
∑		2n +1			qn (z) Pn (μ) Pk (μ),					k = 0,1K∞
n=0			2
1	∞		2n +1				qn (z) Pn (μ) Pk (μ)dμ =
∫	∑
−1 n=0			2
	∞				1
= ∑				2n +1			qn (z) ∫Pn (μ) Pk (μ)dμ = Σ qk (z)
	n=0		2				−1

q(z, μ) → qk (z)

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

МСГ технология (3)

∞

g(z, μ0 ) = ∑

2n +1

gn (z) Pn (μ0 )

2

μ0

= (Ω Ω′)

n=0

gn (z)= ∫1 g(z, μ0 ) Pn (μ0 )dμ0

−1

2π

∞

2n +1

2π

g(z, μ, μ′) = ∫g(z, μ0 ) dψ = ∑

gn (z) ∫Pn (μ0 )dψ

0

n=0

2

0

r r

n

(n −m)!

(μ′) cos(ψ −ψ ′)

Pn (Ω Ω′) = Pn

(μ) Pn (μ′) + 2∑

Pn(m) (μ) Pn(m)

=

(n + m)!

m 1

теорема о сложении полиномов Лежандра

2π

∞

g(z, μ, μ′) = ∫g(z, μ0 ) dψ = 2π ∑

2n +1

gn (z) Pn (μ) Pn (μ′)

0

n=0

2

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

МСГ технология (3)

ΣS ∫1 g(z, μ, μ′) ϕ(z, μ′) dμ′ =

−1

ΣS ∫1 2π ∑∞ 2n2+1 gn (z) Pn (μ) Pn (μ′) ϕ(z, μ′) dμ′ =

−1 n=0

		∞			1
	2π ΣS ∑		2n +1		gn (z) Pn (μ) ∫Pn (μ′) ϕ(z, μ′) dμ′ =
		n=0		2		−1
	2π ΣS ∑2n +1 gn (z) Pn (μ) ϕn (z) →
		∞
		n=0		2
	1	∞		2n +1		gn (z) ϕn (z) Pn (μ) Pk dμ =		2π ΣS gk (z) ϕk (z)
	∫	2π ΣS ∑
	−1	n=0		2

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

МСГ уравнение переноса

1

dϕ

k +1

(z)

dϕ

k −1

(z)

(k +1)

+ k

+Σ ϕk (z)=

2k +1

dz

dz

dϕk +1 (z)

dϕk −1 (z)

= 2π ΣS gk (z) ϕk (z) + qk (z)

(k +1)

+ k

+(2k +1) [Σ −2π ΣS gk (z)] ϕk (z) =

dz

dz

= (2k +1) qk (z)

k

dϕk −1 (z)

+(k

+1)

dϕk +1 (z)

+(2k +1) Σk ϕk (z) = (2k +1) qk (z)

dz

dz

Σk ≡ Σ −2π ΣS gk (z)

k = 0,1K∞

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Система уравнений

n

dϕ1 (z)

+Σ0 ϕ0 (z) = q0 (z)

dϕ0 (z)

dz

+ 2

dϕ2 (z)

+3Σ ϕ (z) = 3 q (z)

dz

dz

1

1

1

2

dϕ1 (z)

+3

dϕ3 (z)

+5

Σ2 ϕ2 (z) = 5

q2 (z)

dz

dz

LLLLLLLLLLLLLLLL

dϕn−1 (z)

+(n +1)

dϕn+1 (z)

+(2n

+1)Σn ϕn (z) = (2n +1) qn (z)

dz

dz

k = 0 k =1 k = 2

k = n

ϕn (z) - моменты решения

	ϕ(z, μ) = ∑2n +1						ϕn (z) Pn (μ)
		∞
	n=0 2
Огородников И.Н.
								Теория переноса излучения
[e-mail]

Частный случай

Изотропное рассеяние

	gk (z)= ∫1 g(z, μ0 ) Pk (μ0 )dμ0 =						1		∫1 Pk (μ0 )dμ0 =
						4π
			−1						−1
		1	1	0,					k ≠ 0
			−∫1 P0 (μ0 ) Pk (μ0 )dμ0
	=			=	1			, k = 0
		4π
				2π

Σk ≡ Σ − 2π ΣS gk (z)

Σ, k ≠ 0

Σk = ΣA k = 0

	k	dϕk −1 (z)		+(k +1)	dϕk +1 (z)			+(2k +1) Σk ϕk (z) = (2k +1) qk (z)
		dz			dz
Огородников И.Н.											Теория переноса излучения
[e-mail]

5.4. Граничные условия в МСГ

1. Контактные условия

μ ϕ(z = SA , μ)= μ ϕ(z = SB , μ)

∫1 ϕ(z = SA , μ) μ Pk (μ)dμ = ∫1 ϕ(z = SB , μ) μ Pk (μ)dμ

−1 −1

μ Pk (μ) = 2k1+1 ((k +1)Pk +1 (μ) + kPk −1 (μ))

(k +1) ∫1 ϕ(z = SA , μ) Pk +1 (μ) dμ + k ∫1 ϕ(z = SA , μ) Pk −1 (μ) dμ =

−1 −1

= (k +1) ∫1 ϕ(z = SB , μ) Pk +1 (μ) dμ + k ∫1 ϕ(z = SB , μ) Pk −1 (μ) dμ

−1 −1

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Контактные условия

		∞		2n +1		1
	(k +1) ∑					ϕn (z = SA ) ∫Pn (μ) Pk +1 (μ) dμ +
	n=0		2			−1
	∞					1
	+ k ∑	2n +1			ϕn (z = SA ) ∫Pn (μ) Pk −1 (μ) dμ =
	n=0		2			−1
	= (k +1) ϕk +1 (z = SA )+ k ϕk −1 (z = SA )

(k +1) ϕk +1 (z = SA )+ k ϕk −1 (z = SA )= (k +1) ϕk +1 (z = SB )+ k ϕk −1 (z = SB ) k = 0,1K∞

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Граница с пустотой

	μ ϕ(z = 0, μ)= 0,	μ ≥ 0
	μ ϕ(z = H , μ)= 0,	μ ≤ 0
	1		ПРОТИВОРЕЧИЕ !!
	∫ϕ(z = H , μ) μ Pk (μ)dμ, μ ≤ 0
	−1
	j− (z = H ) = −2π ∫0 μ ϕ(z = H , μ)dμ = 0
	−1

Необходим аналог условия ортогональности на интервале [-1,0]

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Условие Маршака

	∫0	ϕ(z = H , μ) μ P2k (μ)dμ = 0, k = 0,1,2K∞
	−1
μ P (μ) =			1	((n +1)P		(μ) + nP	(μ)),	n = 2k
n			2n +1		n+1	n−1

(2k +1)∫0 ϕ(z = H , μ) P2k +1 (μ)dμ + 2k ∫0 ϕ(z = H , μ) P2k −1 (μ)dμ = 0

−1 −1

∫0 ϕ(z = H , μ) P2k +1 (μ)dμ = 0

−1

k = 0,1,2K∞

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]