TPI_slaydy

Сбор частиц

Z			Vi
	r
S	r =| r |

Y

X	t-r/v	t t+ t

N_= N_( S, t) – функция области.

N− = ∑ Ni ( S, t)

i

p – вероятность частице из Vi дать вклад в Ni

p = p1· p2· p3

p1	– в объеме Vi произошла реакция рассеяния;
p2	– рассеянная частица вылетела в направлении S;
p3	– частица долетела до S.

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Расчет вероятностей

	r
F Vi , t −			- количество частиц в V	i
	v

CS ( Vi ,

t)

- количество частиц, рассеянных в Vi

p =

Ni

p

=

CS ( Vi , t)

r

1

r

F

V

,t −

F

V ,t −

i

v

i

v

Ni

=

CS ( Vi , t)

p

p

r

r

2

3

F

V ,t

−

F

V ,t −

i

v

i

v

Ni = CS ( Vi , t) p2 p3

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Расчет вероятностей

CS (

Z

θ

S

r

r

r

r

Vi , t)= ∫dt ∫ Σs ϕ r , t −

dV Σs ϕ r

, t −

t Vi

t

Vi

v

v

p2

=

S cosθ

r

4π r 2

p3

=

J (r)

= exp(− Σ r)

J0

r

r

cosθ

exp(−Σ r)

t

S

V

N

= Σ

ϕ

r

,t −

4π r

i

s

v

2

i

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Промежуточный результат

		r		r			cosθ		exp(−Σ r)
N− = ∑	Ni ( S, t) = ∑Σs ϕ r		,t −							t S Vi
							4π r	2
i	i			v

Σ

s

t

S

r

r

cosθ

exp(−Σ r) Vi

N− =

∑ϕ r

,t

−

4π

r

2

i

v

Σ

s

t

S

r

r

cosθ

exp(−Σ r) dV

N− =

ϕ

r ,t −

4π

r

z∫>0

v

2

r

dN

−

N

−

j

−

(r

= 0,t) =

=

lim

d(

S t)

|

S t |

tS→→00

r

Σ

s

r

r

cosθ

exp(−Σ r) dV

j− (r

= 0,t) =

ϕ r

,t

−

4π

r

z∫>0

v

2

r

Σ

s

∞ 2π

π / 2

r

r

j− (r

= 0,t) =

∫dr

∫dψ ∫

ϕ

r

,t −

exp(−Σ r) cosθ sinθ dθ

4π

0

0

0

v

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Разложение в ряд Тейлора

r

r

r

∂ϕ

∂ϕ

∂ϕ

ϕ r ,t −

≈ϕ(r ,t)

ϕ0 + x

+ y

+ z

v

∂x

∂y

∂z

0

0

0

Σs

∞

2π

π

/ 2

(1)

=

∫dr

∫dψ ∫ϕ0 exp(−Σ r) cosθ sinθ dθ =

4π

0

0

0

= − Σs ϕ0 2π

∞

π / 2

∫exp(−Σ r)dr ∫cosθ d(cosθ) =

4π

0

0

Σ

ϕ

2π

1

∞

cos

2 θ

π / 2

= −

s

0

−

exp(−Σ r)

=

2

4π

Σ

0

0

Σ

ϕ

2π

1

1

ϕ

= −

s

0

−

(0 −1)

0 −

=

0

2

4π

Σ

4

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Вычисление интегралов

Σs

∞

2π

π / 2

∂ϕ

(2) =

∫dr ∫dψ

∫

4π

r sinθ cosψ

∂x

exp(−Σ r) cosθ sinθ dθ =

0

0

0

0

Σs

∂ϕ

∞

2π

π / 2

=

∫r exp(−Σ r)dr ∫cosψ dψ ∫sinθ cosθ sinθ dθ

= 0

4π

∂x

0 0

0

0

	Σ	s	∞ 2π	π / 2		∂ϕ
(3) =			∫dr ∫dψ	∫
	4π				r sinθ sinψ	∂y		exp(−Σ r) cosθ sinθ dθ =
			0 0	0				0

	Σs		∂ϕ			∞	2π	π /	2
=						∫r exp(−Σ r)dr ∫sinψ dψ		∫sinθ cosθ sinθ dθ		= 0
	4π		∂y
					0	0	0	0

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Вычисление интеграла по z

			Σs	∞	2π	π /	2		∂ϕ
	(4)	=		∫dr ∫dψ		∫
			4π					r cosθ	∂z		exp(−Σ r) cosθ sinθ dθ =
				0	0	0					0

	Σs		∂ϕ			∞	2π	π /	2
=						∫r exp(−Σ r)dr ∫dψ		∫cosθ cosθ sinθ dθ =
	4π		∂z		0
						0	0	0

	Σs	∂ϕ				∞		π / 2
= −					∫r exp(−Σ r)dr ∫cos2 θ
	2	∂z		0		0		0
= −	Σs	∂ϕ				1		∞∫r d(exp(−Σ r))= −	1
		∂z					Σ
	6			0				0	6

	∞		1		∂ϕ
	∫
−		exp(−Σ r)dr = −	6		∂z			(0	−0)	− −
	0						0

d(cosθ)=

∂ϕ

(r exp(−Σ r)

0∞ −

∂z

0

1

1

∂ϕ

(0 −1)

=

Σ

6ΣS

∂z

0

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Плотность диффузионного тока

j− =

ϕ

0

+

1

∂ϕ

j− > 0

∂z

6ΣS

4

0

j+ =

ϕ

0

−

1

∂ϕ

j+ > 0

∂z

6ΣS

4

0

jz = j+ − j− = −

1

∂ϕ

;

3ΣS

∂z 0

D ≡

1

=

lS

- коэффициент диффузии, [см]

3ΣS

3

∂ϕ

jz = −D

∂z

0

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Обобщение результата

Z	n					Сравнимо с
					∂ϕ
	M					первым
		jnr = −D			r
	r				∂n M	законом
						Фика
	S	∂ϕ	r	ϕ
	Y	r	= n
		∂n

	X
		jr	= −D (n		ϕ)
		n			M
		rj ≡ −D ϕ			- векторная плотность тока
		jnr	r	r
			= n	j

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

2.3. Вывод уравнения диффузии

Уравнение диффузии – уравнение баланса числа частиц

N (V , t) = Nq (V , t) − N A (V , t) − NSUR (V , t)

V

q, ΣA,

	N(V,t) – число частиц в объеме V в
	момент времени t,
ΣS	N(V, t) – изменение числа частиц в
	объеме V за время t.

N (V , t) = N (V ,t + t) − N (V ,t)

N (V , t) = ∫n(rr,t) dV

V

N (V , t) = ∫[n(rr,t + t) − n(rr, t)]dV

V

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]