TPI_slaydy

Кусочно-постоянная аппроксимация

		Σ	(k ) , Σ (k )
Σ0	(1) , Σ1(1)	0	1	Σ0

	0	ячейка
x0		xk-1	xk

ddvx +Σ0 w = f0

1 dw

3 dx +Σ1 v = f1

( N ) , Σ1( N )			zk = zk − zk −1
			vk = v(zk )
	H	x	vk = vk −vk −1
			wk = wk − wk −1

xN

dv +Σ0 w dx = f0 dx
	1
		dw +Σ v dx = f dx
	3	1	1

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Интегрирование уравнений

vk						xk
∫dv +						∫Σ0 w dx
v						x
		k−1		w			k−1	x		Σ v
1				k	dw +				k
				∫				∫			1
	3
				wk−1				xk−1

xk

= ∫ f0 dx

xk−1

xk

dx = ∫ f1 dx

xk−1

				xk
	vk +			∫Σ0 w dx = f		0k
				xk−1
				xk
	1
			wk + ∫Σ1 v dx = f1k
		3
				xk−1

Формула Эйлера для численного интегрирования

xk

u +u

xk +

(

x )2

du

du

+ 0((

5

)

∫u(x) dx ≈

k −1 k

−

xk )

k

xk−1

2

12

dx k −1

dx k

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Аппроксимация формулой Эйлера

x

(wk + wk −1 )+

(

x

)2

dw

dw

vk +Σ0

k

k

−

2

12

= f0k

dx k −1

dx k

1

x

( x

)2

dv

dv

(vk +vk −1 )+

k

wk +Σ1

k

= f1k

−

3

2

12

dx k −1

dx k

Вычисление производных

ddvx +Σ0 w = f0

1 dw

3 dx +Σ1 v = f1

	dv			= f0 −Σ0 w
	dx
		dw		= 3(f1 −Σ1 v)
	dx

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Аппроксимация формулой Эйлера

dw

dw

= 3(f1 −Σ1 v) −

−3(f1

−Σ1 v) = 3 (Σ1

)

−

vk − f1

k

k

1

k

dx

k −1

dx

k

dv

dv

wk − f0 k )

−

= (f0 −Σ0 w)k −1 −(f0 −Σ0 w)k = (Σ0

dx k −1

dx k

xk

(wk + wk −1 )+

(

xk )2

(Σ1 vk − f1k

= f0k

vk +Σ0

2

4

)

1

xk

( xk )2

(Σ0 wk −

(vk +vk −1 )+

wk

+Σ1

f0 k

= f1k

3

2

12

)

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Двухточечная разностная схема

P

v

k

+Σ

0

xk

(w

+ w

)= F

2

k

k −1

0

xk

P

wk +Σ1

(vk +vk −1 )= F1

3

2

P =1+

( xk )2

Σ

0

Σ

4

1

F

+

( xk )2

Σ

f

= f

0k

0

4

1

1k

+

( xk )2

Σ

f

F = f

0

0 k

1

1k

12

Огородников И.Н. [e-mail]

k =1,KN −1

v0 + 12 w0 = 0 vN − 12 wN = 0

граничные

условия

Теория переноса излучения

Трехточечная разностная схема

P			v	k	+Σ	0		xk (w		+ w	)= F
								2	k	k −1	0
								xk (vk +vk −1 )= F1
	P		wk +Σ1
3								2

vk = vk −1

+

F0

−

Σ0

xk (wk

+ wk −1 )

v

= v

+ A − B (w

+ w

)

P

k

k −1

2P

k

k −1

2F1

2P

vk −1 = C − D (wk − wk −1 )−vk

v

k −1

=

−

w

−v

k

Σ1

xk

3Σ1

k

xk

vk = C − D (wk − wk −1 )−vk + A − B (wk + wk −1 )vk −1 = C − D (wk − wk −1 )−vk −1 − A + B (wk + wk −1 )

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Трехточечная разностная схема

v = 1

[C −

D

(w

− w

)+ A − B (w

+ w

)]

(1)

k

2

k

k −1

k

k −1

1

[C

− D (wk

− wk −1 )− A + B (wk + wk −1 )]

−1

=

(2)

vk

2

v

= 1 [C − D

(w

− w

)+

A − B (w

+ w

)]

k

2

k

k −1

k

k −1

1

(wk +1 + wk )]

′

′

′

′

(2) k → k +1

vk

=

−

2

[C

D

(wk +1 − wk )− A

+ B

C − D (wk −wk −1 )+ A − B (wk + wk −1 )=

=C′− D′ (wk +1 − wk )− A′+ B′ (wk +1 + wk )

−(D′− B′) wk +1 +(D′+ D + B′+ B) wk −(D − B) wk −1 = C −C′+ A + A′

−αk wk +1 + βk wk −γk wk −1 =δk

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Граничные условия

1

k = 1

v0 +

2 w0 = 0

v

=

1 [C − D (w − w

)− A + B (w + w

)]

k −1

2

k

k −1

k

k −1

1

1 w

v =

[C − D (w − w )− A + B (w + w )]= −

0

2

1

0

1

0

2

0

− (D − B) w1 + (D + B +1) w0 + 0 w−1 = (A −C)

−α0 w1 + β0 w0 −γ0 w−1 =δ0

α0 = D − B

β0 = D + B +1

	γ0	= 0
	δ0	= A −C
Огородников И.Н.							Теория переноса излучения
[e-mail]

Граничные условия

1 wN = 0

k = N

vN −

v =

1 [C − D (w − w

)

+ A − B (w + w

)]

2

k

2

k

k −1

k

k −1

v

N

=

1

[C − D (w − w

)+ A − B (w + w

)]=

1 w

2

N

N −1

N

N −1

2

N

− 0 wN +1 + (D + B +1) wN − (D − B) wN −1 = A + C

−αN wN +1 + βN wN −γN wN −1 =δN

αN = 0

βN = D + B +1

γN = D − B δN = A + C

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Решение методом прогонки

wk+1

wk = Ek wk +1 + Fk

−αk wk +1 + βk wk −γk wk −1 =δk

wk

−α

w

+ β

(E

w

+ F )−γ

w

=δ

k

k +1

k

k

k +1

k

k

k −1

k

k

k+1

γ0

= 0

k=0

−α0 w1 + β0 (E0 w1 + F0 )=δ0

(−α0 + β0 E0 ) w1 = (δ0 − β0 F0 )

E

=

α0

F = δ0

0

β

0

0

β

0

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]