TPI_slaydy

6.5. Аппроксимация интеграла рассеяния

Ωr ϕ(rr,Ωr) + Σ(rr) ϕ(rr,Ω) =

= ∫ΣS (rr) g(rr,Ωr Ωr′) ϕ(rr,Ωr′) dΩ′+ q(rr,Ωr)

4π

- сетка по пространственной переменной rk

- квадратурная сетка по углово переменной (wm, Ωm) Ωm- узел сетки или направление (μm,ψm);

wm- вес направления.

∫ΣS (rr) g(rr,Ωr Ωr′) ϕ(rr, Ωr′) dΩ′ =

4π

1	2π	M
= ∫dμ′∫F(rr, μ,ψ)dψ = 4π∑wm F(μm ,ψm )
−1	0	m=1

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Квадратура Гаусса

При азимутальной симметрии

∫ΣS (rr) g(rr,Ω Ω′) ϕ(rr,Ω′) dΩ′ =

4π

= 2π ∫1 F(μ′)dμ′

−1

1	M
∫F(μ′)dμ′ = ∑wm F(μm )
−1	m=1

wk = (1 −ξk 2 )(2Pm′(ξk ))2

Pm (ξk ) = 0

Огородников И.Н. [e-mail]

M

= 2π∑wm F(μm )

m=1

Квадратура Гаусса

порядка M точно интег-

рирует полином поряд-

ка (2M-1).

Теория переноса излучения

Двумерная квадратура ESn

Равномерное расположение узлов по поверхности сферы. z

wm		Для построения
		выберем октант I
(μm,ψm)		μ = 1….0
	y	ψ = 0…π/2

Для примера выберем порядок

x	квадратуры n = 8

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Представление 1/8 квадратуры ES8

μ9

2

μl7 = 4 l = 3 2

μ5

2

l = 2

μ3

2

l=1

μ1

2

x

S0

Огородников И.Н. [e-mail]

z

μ4
	μ3
	μ2
	μ1
μl	y
	ψl ,m+1
	2
ψl ,m−1	ψl,m
2

Количество узлов

квадратуры n(n+2) n = 2,4,6…

для ES8 (n=8)

число узлов = 80

Все расчеты для

одного октанта (1/8).

N = n (n + 2)	=10
8

число узлов

Теория переноса излучения

ES8 технология (1)

Все площадки S0 одинаковы по площади, но могут отли-

чаться формой. Каждый узел – на своей площадке.

S

0

= 4π

: n (n + 2)

=

4π

= 0.4π

(для ES )

8

8

n (n + 2)

8

Границы площадок:

μ

= μl +1 / 2 ,

n

l = 0,1, 2...

2

ψ

=ψl,m+1 / 2 ,

n

−l

m = 0,1, 2...

2

+1

площадь слоя:

∫

∫

π / 2

2

μl−1/ 2

2

(μ

2

S

dS =

sinθ dθ

∫

dψ = −

∫

dμ =

w

l

=

π

π

l +1 / 2

− μ

l −1 / 2

)= π

l

Sl

μ

0

μl+1/ 2

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

ES8 технология (2)

n

4π

n

π

S

= S

− l +1

=

− l +1

=

w

2

n (n + 2)

2

2

l

0

l

wl

=

4 (n − 2l + 2)

весовой коэффициент

n (n + 2)

l = 1, 2,3,…n/2

wl +1 =

4 (n − 2(l +1) + 2)

= wl

−

8

рекуррентная формула

n (n + 2)

n (n + 2)

n / 2

n =

8

4n

n =

4

(n + 2)

n =1

w

=

w

n

+ w

+

∑ l

1

l =1

4

n (n

+

2) n (n + 2)

4 n

(n + 2) 4

2

нормировка

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

ES8 технология (3)

Нижняя граница слоя	(w	+ w	)		n
n / 2
μ = μl −1 / 2 =1 − ∑wl =1 −	l	n / 2					−l +1	=
		2				2
l

4 (n − 2l + 2)

8

1

n

=

1

−

+

−l +1 .

n (n + 2)

n (n + 2)

2

2

μ

l −

=1 −

(n − 2l + 4) (n − 2l + 2)

1 / 2

n (n + 2)

середина слоя

	μl =	(μl −1 / 2 + μl −1 / 2 )	=1 −	(n − 2l + 2)2
		2		n (n + 2)

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

ES8 технология (4)

Координата узла квадратуры по полярному углу

μl = μl + f μl −1/ 2

∑n / 2 w μ 2 = 1

l =1 l l 3

Координата узла квадратуры по азимутальному углу

ψ		= π		2m −1	A +		1− An	,	m =1, 2, ... ,	n	−l +1
	l ,m
		2			n	2			2
			n −2l + 2

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

6.6. Метод характеристик

	∂ϕ	1
μ		′	′	′	+ q(z, μ)
	∂z	+ Σ ϕ = ΣS ∫g (z, μ, μ ) ϕ(z, μ ) dμ
		−1
μ	∂ϕ	+ Σ ϕ = S(z, μ) + q(z, μ) ≡ F (z, μ)
	∂z

Ωm – характеристика (направление в пространстве) Суть метода характеристик - Ωm = const

				μm = const,				m =1, 2 , ... , M
	μ	m		dϕm (z)	+ Σ(z) ϕ		m	(z) = F (z)
				dz				m
	ϕm (z) =ϕ(z, μm ),					Fm (z) = F (z, μm )
	m =1, 2 , ... , M

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Сетки по переменным

Разностная сетка по угловой переменной

-1

0

1

μm

M

M1

1

m

ϕm (z =

0) = fm ,

m =1, 2, ... , M1

= 0,

m = M1 +1, ... , M

ϕm (z = H )

Разностная сетка по координатной переменной

z0=0

z1

z2

zI-1

zI=H

z

0

1

2

I-1

I

i

зависит от решения ϕm (z) =ϕ(z, μm )

S(z, μm )

проблема нелинейности уравнения

Огородников И.Н.

Теория переноса излучения

[e-mail]