TPI_slaydy

Метод отбора (исключений)

Пример 2 Метод отбора (исключений)

f(x) – плотность распределения сл.величины ξ, имеющая сложный для моделирования вид.

g(x) – мажоритирующая функция: f (x) ≤ g(x), для

нормированной плотности которой известен алгоритм

моделирования случайной величины η. Выбираем ηi
	g(x)
по нормированной плотности
	∫g(x) dx

Для очередного сл.числа si проверяем условие: если si g(ηi) < f (ηi), то ξi = ηi. Иначе – значение ηi отбрасываем

и процесс повторяется.

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Суперпозиция плотностей

Пример 3

Если плотность распределения f(x) можно представить в виде суперпозиции плотностей fi(x)

n	n
f (x) = ∑pi fi (x),	∑pi =1
i =1	i =1

Сначала пропорционально вероятностям pi выбирается

одна из плотностей fi(x), а затем из нее осуществляется розыгрыш значения ξ

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Применение ММК для вычисления интегралов

Оценим интеграл J по мере Лебега на n-мерном евклидовом пространстве X

J = ∫g(x) dx

X

f(x) – плотность распределения n-мерной сл.величины ξ

	J = ∫g(x) dx = ∫ f (x)			g(x)	dx = ∫ f (x) q(x) dx = M [q(ξ)]
				f (x)
	X		X		X
	q(x) =	g(x)	Интеграл будет мат.ожиданием q(x)
		f (x)

Мат.ожидание можно вычислить как среднее значение

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Вычисление интеграла

Разыграем N значений ξ1, ξ2 , ..., ξN случайной величины ξ по плотности f(x) и вычислим для них среднее значение

J N = 1 ∑N q(ξk )

N k =1

Это и будет оценкой интеграла J при n → ∞

Согласно центральной предельной теореме истинное значение интеграла J с вероятностью

		1	+β			x	2
			∫
	p(β) =				−
		π				2
				exp				dx
		2	−β

лежит в доверительном интервале

J = JN ± β σN

Огородников И.Н.					Теория переноса излучения
[e-mail]

Расчет погрешностей

	σN =	σ		ср.кв.погрешность
		N
				отклонениестандартное (среднеквадратическое)
	σ =	D[q(ξ)]
			N	2
	D[q(ξ)]= ∑(q(ξ)− JN )				дисперсия

i=1

β= 1, 2, 3. p(β) = 0.68, 0.95, 0.997

Для повышения точности в 2 раза надо число испытаний увеличить в 4 раза.

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Пример вычисления интеграла

J = ∫b g(x)dx

a

	1						x (a, b)		равномерное распределение
	f (x) =				,
			b − a
	J = ∫b g(x)dx = ∫b						f (x)	g(x)	dx = (b − a) M [g(ξ)]
								f (x)
	a					a
	J N = (b − a)∑g(ξk )									сравнить с теоремой о
					N
										среднем
			N		k	=
						1

Еще один способ – бросание точек на плоскости равномерно по площади прямоугольника, накрывающего область под кривой g(x) и вычисление доли точек, лежащих внутри этой области

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

7.2. ММК в задачах переноса

Два подхода к использованию ММК в теории переноса:

1)Метод формального математического решения

уравнения переноса излучения, при котором решение представляется в виде ряда Неймана и далее этот ряд суммируется при помощи метода Монте-Карло.

2)Моделирование физических процессов

распространения излучения в среде и накоплении некоторой статистической информации об искомых величинах без привлечения математического аппарата

теории переноса

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Интегральное уравнение Пайерлса

r

1

r

r

exp(−Σ

rr′−r

)

r

стационарное

ϕ(r ) =

V∫[Σs ϕ(r ′)+ q(r

′)]

dr′

уравнение

4π

rr′−rr

2

Пайерлса

r

r

′

r

r

r

r

r

r

r

Σs exp(−Σ

r

− r

)

exp(−Σ

r

′− r

)

ϕ(r

′)dr

ϕ(r )

= ∫

4π

r r

2

′ +

∫

4π

r r

2

q(r

′) dr′

V

r ′− r

V

r ′−r

144424443

k (rr,rr′)

Σs exp(−Σ

rr′−rr

)

r

r′

известная функция –

k(r , r )

=

ядро уравнения

4π

r

r

2

r ′

−r

r

r

r

r

r

известная функция

exp(−Σ

r

′−r

)

f (r ) = ∫

q(r

′) dr′

источника

r

r

2

V

4π

r ′−r

r

r

r′

r′

r′

r

ˆ

ϕ(r ) =

∫

k(r , r ) ϕ(r

)dr

+ f (r )

ϕ = Kϕ + f

V

Огородников И.Н.

Теория переноса излучения

[e-mail]

Неоднородное интегральное уравнение

					Решение методом итераций
ϕ		= Kϕ
				+ f
	(i)	ˆ	(i−1)

ϕ(0) (rr) =ϕ0				(rr), произвольная функция, в например -						ϕ( 0 ) (rr) = f
ϕ		(r ) = Kϕ				+ f = Kϕ0 + f
	(1)	r	ˆ		(0)		ˆ
ϕ		(r ) = Kϕ				+ f = K ϕ0 + Kf + f
	( 2)	r	ˆ		(1)		ˆ 2	ˆ
L
ϕ	(i)	r	ˆ i			ˆ i−1	ˆ i−2	ˆ
		(r ) = K ϕ0 + K					f + K	f +L+ Kf + f

Последовательные приближения ϕ(i ) сходятся при i → ∞ к решению уравнения тогда и только тогда, когда это

решение представимо в виде ряда Неймана

	r		∞			ˆ i		r
	ϕ(r ) = ∑K						f (r )
Огородников И.Н.			i=0
									Теория переноса излучения
[e-mail]

Кратные интегралы

Члены ряда Неймана – кратные интегралы

ϕ(1) (rr) = ∫k(rr, rr′) ϕ0 (rr′)drr′ + f (rr)

			V			r′	r′
ϕ	(2)	r	r r′	ϕ	(1)			+	r
		(r ) = ∫k(r , r )				(r	)dr		f (r ) =
			V
			= ∫∫k(rr, rr′) k(rr′, rr′′) ϕ0 (rr′′)drr′′drr′ + ∫k(rr, rr′) f (rr′)drr′ + f (rr)
			V V						V

Вычисление интегралов проводят методом Монте-Карло

ММК не зависит от кратности интеграла

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]