TPI_slaydy

Решение методом прогонки

k = k - 1

wk −1 = Ek −1 wk + Fk −1

−αk wk +1 + βk wk −γk wk −1 =δk

−αk wk +1 + βk wk −γk (Ek −1 wk + Fk −1 )=δk

−αk wk +1 +(βk −γk Ek −1 ) wk =δk +γk Fk −1

w =

αk

w

+

δk +γk Fk −1

βk −γk Ek −1

βk −γk Ek −1

k

k +1

E

=

αk

F

=

δk +γk Fk −1

βk −γk Ek −1

βk −γk Ek −1

k

k

αN = 0 → EN = 0

→

wN = FN

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Решение методом прогонки

Прямая прогонка

Ek =

αk

βk −γk Ek −1

E0

Fk =

δ

k

+γ

k

F

EN=0

F0

k −1

βk −γk Ek −1

F

N

i = 0, 1, 2, …,k-1, k, k+1, ………………. N

wN=FN

w0

wk = Ek wk +1 + Fk

Обратная прогонка

vk =

1

[C − D (wk − wk −1 )+ A − B (wk + wk −1 )]

REMP1

2

SABINA

Огородников И.Н.

Теория переноса излучения

[e-mail]

6

Метод дискретных ординат

	Огородников И.Н.	Теория переноса излучения
	[e-mail]

6.1. Общие положения

МДО – основной метод численных решений уравнений,

переноса излучений:

-атмосферная оптика;

-астрофизика;

-физика реакторов;

-задачи радиационной защиты;

и др.

Суть метода МДО – дискретное представление коорди-

натной и угловой зависимостей всех функций.

Впервые в 40-х годах (Г.Вик и С.Чандрасекар) для решения задач об однородных плоскопараллельных слоях.

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

6.2.Особенности задач

1.Сложная структура пространственной, энергетической и угловой зависимостей коэффициентов уравнения переноса Σ, ΣA, g ведет к сложной структуре решения.

2.Из-за больших размеров расчетной области диапазон

изменения решения обычно очень велик: так, ослабление потоков в реальных защитах может составлять

десять и более порядков.

3. Разнообразие потребностей широкого круга пользо-

вателей ведет к необходимости создания высокоуни-

версальных алгоритмов и программ, обеспечивающих

полноту, точность и эффективность обработки расчет-

ной информации.

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

6.3. Требования к алгоритму

Консервативность - отражение в принятой аппроксимации УП законов сохранения ("соотношений баланса") частиц;

Устойчивость: будем называть алгоритм устойчивым, если малые изменения во входной информации не могут приво-

дить, в результате исполнения алгоритма, к большим изме-

нениям в выходной информации.

Монотонность - Функция f(x) называется монотонной на

интервале, если для любых x1 и x2 интервала либо из x1 < x2 всегда следует f(x1) < f(x2), либо из x1 < x2 всегда

следует f(x1) > f(x2) (убывающая). Схема монотонна в достаточной степени, если сохраняет монотонность

сеточной функции при разумной густоте сеток.

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Рекомендации к разработке

Арифметическая и логическая простота алгоритма расчета ячейки. Простота и компактность элементарного алгоритма - «сердцевины» программы - позволяет относительно просто его модифицировать, заменять, отлаживать, исправлять и пр.

Универсальность вычислительной схемы, позволяющая с помощью данного алгоритма решать широкий круг

разнообразных задач.

r1α ddr rα D ddϕr − Σ ϕ + q = 0

−плоская геометрия;

α= 1 − цилиндрическая геометрия;

2 − сферическая геометрия;0

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Рекомендации к разработке

Положительность численной схемы – не дает отрица-

тельных решений при положительных источниках.

Линейность численной схемы – независимость коэффи-

циентов уравнения от решения.

−αk wk +1 + βk wk −γk wk −1 =δk

αk ≠αk (w)

βk ≠ βk (w)

γk ≠ γk (w) δk ≠ δk (w)

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Типичные проблемы

		φ(x)
	Осцилляции решения
	Меры борьбы:

-повышение густоты сеток;

-высокая монотонность.

Лучевой эффект Меры борьбы:

- выбор положения и густоты сеток;

Огородников И.Н. [e-mail]

x

rk-1	rk+1
	rk
	Ωm+1
Ωm-1	Ωm

Теория переноса излучения

6.4. Геометрические модели

Выбор системы координат определяется симметрией задачи

ϕ(z, μ)

μ

∂ϕ

∂z

ϕ(x, y, z, μ,ψ )

ξ

∂ϕ

+η

∂ϕ

+ μ

∂ϕ

∂x

∂y

∂z

ϕ(r, z, μ,ψ )

1 ξ

∂ϕ

+ μ

∂ϕ

−

1

∂(r ϕ)

r

∂r

∂z

r

∂ψ

ϕ(r, μ)

μ

∂(r2 ϕ)+

1

∂((1 − μ2 ) ϕ)

r2

∂μ

∂r

r

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]