TPI_slaydy

Расчет компонентов уравнения

Nq (V , t) = ∫dt∫q(rr,t) dV

t ∫q(rr,t) dV

t

V

V

N A (V , t) = ∫dt∫ΣA ϕ(rr,t) dV

t ∫ΣA ϕ(rr,t) dV

dS

t

V

V

n

jnr t dS = −D nr ϕ t dS

S, V

NSUR (V ,

t) =

t ∫(− D nr ϕ)dS =

t ∫(− D ϕ)dSr

S

S

NSUR (V ,

t) =

t ∫ (− D ϕ)dV

теорема

V

Остроградского-

Гаусса

Огородников И.Н.

Теория переноса излучения

[e-mail]

Уравнение диффузии

N (V , t) −

Nq (V , t) +

N A (V , t) +

NSUR (V , t) = 0

n(rr, t + t)

− n(rr,t)

r

r

r

t ∫

−q(r

,t) +ΣA ϕ(r ,t) − (D ϕ(r

,t)) dV = 0

t

V

∂n(rr,t)

r

r

r

∫

−q(r ,t) +ΣA ϕ(r

,t)

− (D ϕ(r , t)) dV = 0

∂t

V

r

∂n(r

, t)

−q(rr,t) +ΣA ϕ(rr,t) − (D ϕ(rr, t))= 0

∂t

1

∂ϕ(rr, t)

= (D ϕ(rr,t))−ΣA ϕ(rr, t) + q(rr,t)

v

∂t

1

∂ϕ(rr, t)

= D ϕ(rr, t) −ΣA ϕ(rr, t) + q(rr,t)

v

∂t

D ϕ(rr) −ΣA ϕ(rr) + q(rr) = 0

Огородников И.Н.

Теория переноса излучения

[e-mail]

2.4. Ограничения диффузионного приближения

1.Среда бесконечно протяженна и однородна.

2.В среде нет источников частиц.

3.Среда преимущественно рассеивающая:

4.	Σa << Σs	Σs ≈ Σ .
	Рассеяние изотропно в лабораторной системе
	координат.
5.	Среднее время между двумя актами рассеяния τ и
	характерное время T изменения любой функций:
	τ = ls /v << T

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Редукция ограничений

Диффузионное приближение применимо и результаты решения уравнения диффузии являются корректными для областей, удаленных на расстояние не менее трех длин свободного пробега от сильных источников, поглотителей и границ.

Среда, для которой применяется приближение,

должна быть диффузионной, т.е. преимущественно рассеивающей, причем рассеивающей изотропно.

Источники должны быть равномерно распределены в

пространстве, а их угловое распределение должно быть изотропно.

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

2.5. Граничные условия

Краевая задача:

Дифференциальное уравнение второго порядка

требует начальных и граничных условий

1. Начальные условия:	r	= f (r )
известная функция.	ϕ(r , t = 0)

2. Граничные условия:

Область применимости – не ближе трех длин

свободного пробега от границ на которых надо

сформулировать условие.

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Пример. Краевая задача 1

1. Граница невогнутого тела без источников с пустотой

j-= 0	Односвязное невогнутое тело, в
	пустоте нет источников.
n			ϕ		D			dϕ
	j−			+					= 0
			=		2			r
S			4					dn S
q		ϕ	+ D	dϕ				= 0
		2			r
				dn		S

Возможные источники сосредоточены в невогнутом

теле, плотность которого много больше плотности окружающей среды

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Пример. Краевая задача 2

2. Контактные условия на границе раздела двух сред

S		A и B – диффузионные среды.
A
	B	Требование непрерывности
		односторонних токов через S.
n		(j	)	= (j	−	)
			− SA			SB
		(j+ )SA = (j+ )SB

ϕ

+ DA

dϕ

ϕ

+ DB

dϕ

0

r

=

0

r

2

dn SA

2

dn SB

(ϕ0 )SA = (ϕ0 )SB

ϕ

dϕ

ϕ

dϕ

0

− D

r

=

0

− D

r

dϕ

dϕ

2

A

dn SA

2

B

dn SB

DA

r

=

DB

r

dn SA

dn SB

Огородников И.Н.

Теория переноса излучения

[e-mail]

2.6. Одномерные задачи для уравнения диффузии

r

q

Огородников И.Н. [e-mail]

1. Точечный изотропный источник в

однородной бесконечной среде

1см2 Случай А.									Σ=ΣA=ΣS=0
		q = ∫ϕ(r)dS =ϕ(r) 4π r2
			S
		ϕ(r) =			q
					4π r2
		Случай B.							Σ=ΣA ΣS=0
		ϕ(r) =			q			exp(−Σ r)
					4π r2
									Теория переноса излучения

Случай C. Диффузионная задача

D ϕ −ΣAϕ + q = 0

≡ r12

∂

∂

1

∂

∂

r2

+

sinθ

r

2 sinθ

∂θ

∂θ

∂r

∂r

1

∂

∂ϕ

D

r2

−Σ ϕ + q = 0

r

∂r

2

∂r

A

1

∂

∂ϕ

D

r2

−Σ ϕ = 0

r

∂r

2

∂r

A

1

∂

2

∂ϕ

Σ

r

−

A ϕ = 0

r2

∂r

∂r

D

1

∂

2

∂ϕ

2

r

−κ ϕ = 0

r2

∂r

∂r

		+	1		∂2
			r2 sin2 θ		∂ψ 2

κ2 = ΣA / D

ϕ(r) = u(r)/r

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]

Решение диффузионной задачи

		d2u
			−κ2u = 0				u(r) = A exp(−κ r)+ B exp(κ r)
		dr2
				exp(−κ r)
	ϕ(r) = A					+ B		exp(κ r)		B = 0 при r	→ ∞
				r				r
	ϕ(r) = A			exp(−κ r)						κ > 0
				r

		dϕ		1		+κ r
jr (r) = −D				= A D			exp(−κ r)
		dr				r2
q = lim(4π r2 jr (r))= 4π A D
r→0
ϕ(r) =	q		exp(−κ r)				j(r) =	q (1+κ r)	exp(−κ r)
	4π rD							4π r2

Огородников И.Н.				Теория переноса излучения
[e-mail]