Учебник

21. Определение параметров и построение кривых по общему уравнению

S = sign I3.

(21.30)

Соотношения для косинуса и синуса искомого угла поворота теперь определяются такими соотношениями, как и в случае эллипса (21.26) и (21.26):

cosϕ = ±	1+cos 2ϕ sign(sin 2ϕ ), sinϕ = ±					1−cos 2ϕ	,
	2					2
ãäå
	cos 2ϕ =	a11 −a22	S,	sin 2ϕ =	2a12	S.
		D
					D

21.4. Точка и пересекающиеся прямые. Диагонали основного прямоугольника эллипса и асимптоты гиперболы

Перейдем к рассмотрению вырожденных кривых второго порядка, которые распадаются на пары прямых и для которых третий инвариант равен нулю: I3 = 0.

Здесь мы рассмотрим центральные кривые, то есть пересекающиеся прямые. Эти кривые характерны наличием единственного центра симметрии, координаты которого (X0 ,Y0) определяются из соответствующей системы уравнений:

a		X		+ a Y	+ a		= 0	.	(21.31)
	11		0	12 0		13
a12 X0 + a 22Y0 + a 23 = 0

Теперь совершим параллельный перенос в систему отсчета, центр которой совпадает с центром кривой:

x = X0 + xc= +y Y0 yc

xc = X0 − x.yc =Y0 − y

В этой системе отсчета уравнение кривой будет иметь вид

323

III. Кривые и поверхности второго порядка

a	x2	+ 2a	x y	c	+ a	y2	+c = 0.	(21.34)
11	c	12	c			22 c	33

А так как мы рассматриваем распадающиеся кривые, то из равенства нулю третьего инварианта следует, что свободный член c33 равен нулю:

a11

a12

0

a11

a12

c = 0,

I

3

=

a

a

0

=

c = I c = 0

12

22

a12

a22

33

2

33

33

0

0

c33

òàê êàê

I2 ≠ 0.

Как мы уже знаем, полученное уравнение

a11 xc2 + 2a12 xc yc + a22 yc2 = 0

описывает пару прямых, проходящих через начало отсчета, а значит, это уравнение может быть записано в виде произведения уравнений двух прямых, не содержащих свободных членов:

a x2	+ 2a x y + a y2		= 0	→ (α x +β y )(α	x +β	y ) = 0.
11 c	12 c c	22 c		1 c 1 c	2 c	2 c

Раскрывая скобки и сравнивая между собой соответствующие коэффициенты, можно найти возможные выражения для коэффициентов α и β .

Например:

α1,2 = a12 ±	−I2	è β1,2	= a22.	(21.35 à)
èëè
α1,2 = a11 è	β1,2	= a12 ±	−I2 .	(21.35 á)

Здесь (и ниже) из двух предлагаемых решений выбирается нетривиальное, то есть такое, в котором не равны нулю все коэффициенты.

Возвращаясь в исходную систему координат, мы получаем искомые уравнения распадающихся прямых в исходной системе координат:

324

21. Определение параметров и построение кривых по общему уравнению

(a + −I				2	) (x − X	0	) + a ( y −Y ) = 0
	12								22	0		(21.36 à)
					) (x − X		) + a ( y −Y ) = 0
(a − −I				2		0
	12								22	0
èëè
a (x − X		0	) +(a − −I					2	) ( y −Y ) = 0
	11				12					0	.	(21.36 á)
			) +(a + −I						) ( y −Y ) = 0
a (x − X		0						2
	11				12					0
Как и следовало ожидать, эти уравнения содержат												−I2 , è

поэтому для отрицательных I2 (гиперболический тип) эти уравнения вещественны и описывают пару пересекающихся прямых. В случае положительного значения I2 (эллиптический тип) эти уравнения — комплексные и описывают пару мнимых пересекающихся прямых или одну вещественную точку (X0 ,Y0), находящуюся в центре канонической системы координат.

При исследовании эллипса и гиперболы мы показали, что уравнения диагоналей их основных прямоугольников (асимптот у гиперболы) получаются из канонических уравнений при отбрасывании свободного члена. Таким образом, если после параллельного переноса в систему, центр которой совпадает с центром канонической, уравнения эллипса или гиперболы имеют вид

(21.34) a	x2	+ 2a	x y	c	+ a	y2	+c = 0, то уравнения диагоналей
11	c	12	c			22 c	33

их основных прямоугольников (а для гиперболы они совпадают

с асимптотами) имеют вид a x2	+ 2a	x y	+ a	y2 = 0, а следова-
11 c	12	c c	22	c
тельно, совпадают с (21.36).
Решения (21.36) допускают и значение I2			= 0,	которое соответ-
ствует (в рассматриваемом нами случае I3 = 0) двум параллельным
прямым. В этом случае уравнения (21.36) принимают вид
a12 (x − X0 ) + a22 ( y −Y0 ) = 0
a11 (x − X0 ) + a12 ( y −Y0 ) = 0				(21.37)

и описывают ось симметрии или ось абсцисс канонической системы координат этой кривой. Рассмотрим этот случай более подробно в следующем подразделе.

325

III. Кривые и поверхности второго порядка

21.5. Параллельные прямые

Исследуем теперь параллельные прямые, для которых детерминант системы (21.31), совпадающий со вторым инвариантом,

равен нулю a11a22 −a12a12 ≡ I2 = 0.

В этом случае у системы есть бесконечное число решений, которым соответствует любая точка с координатами (X0 ,Y0), удовлетворяющими соотношению

a11 X0 + a12Y0 + a 13	= 0	(21.38 à)
или соотношению
a12 X0 + a 22Y0 + a 23	= 0.	(21.38 á)

В том, что эти соотношения совпадают, можно убедиться, если использовать равенство нулю инвариантов I2 = 0 è I3 = 0, а также соотношение (20.8) между третьим инвариантом и разностью (a22a13 −a12a23 ), полученное в предыдущем разделе:

I		(I		= 0) = −	1	(a	a	− a a		)2 .	(21.39)
	3		2						23
					22		13	12
					a22

Отсюда, в частности, следует, что a22a13 = a12a23 , òàê êàê I3 = 0. Любая из этих точек является центром симметрии, поэтому

прямая, содержащая эти точки, является осью симметрии этой кривой, а, следовательно, и осью абсцисс в канонической системе отсчета. Уравнение этой прямой следует из (21.38):

a11 x + a12 y + a 13 = 0 èëè a12 x + a 22 y + a 23 = 0.

(21.40)

Заметим, что если все-таки выбрать одну из множества канонических систем с центром в точке (X0 ,Y0), то это уравнение можно переписать в виде (21.37), полученном в предыдущем подразделе из общих для распадающихся кривых уравнений (21.36).

Как мы отметили, эта кривая является в канонической системе отсчета осью абсцисс. Сами же параллельные прямые лежат от оси абсцисс на расстоянии h2 , где, согласно соотноше-

326

21. Определение параметров и построение кривых по общему уравнению

	íèþ (21.8), h2 = −	K	. Значит, уравнения параллельных прямых
		I 2
		1

можно получить из (21.40) как уравнения прямых, лежащих от

прямой	(21.40) на расстоянии h2 .			Это проще всего				сделать
приведя	уравнение (21.40) к нормированному виду и							добавив
к уравнению слагаемое ± h2		:
	a11 x + a12 y + a 13 = 0 →		a11 x + a12 y + a13				= 0 →
				a2	+ a2
				11	12
	→ a11 x + a12 y + a13			±	h2 = 0			(21.41 à)
	a2	+ a2
	11	12
èëè
	a12 x + a 22 y + a 23 = 0 →		a12 x + a 22 y + a 23				= 0 →
				a2	+ a2
				12	22
	→ a12 x + a 22 y + a 23			±	h2 = 0.			(21.41 á)
	a2	+ a2
	12	22

Это и есть искомые уравнения для параллельных прямых.

	Они, как и ожидалось, содержат величину h2 = −	K	, ïî-
		I 2
		1

этому описывают в зависимости от значения полуинварианта K пару параллельных вещественных (K < 0), мнимых (K > 0) и совпадающих (K = 0) прямых.

21.6. Парабола

Для определения канонической системы отсчета параболы на- чнем с общих соотношений (21.18). Входящий в них дискрими-

нант характеристического уравнения D = I 2								−4I		2	для параболы
равен D = I 2 ,	òàê êàê I						1
			2	= 0. Следовательно (21.18) можно пере-
1
писать в виде
	cos 2ϕ =	a11 −a22			S,	sin 2ϕ =	2a12		S.		(21.42)
				I			I	1
				1

327

III. Кривые и поверхности второго порядка

Величину S, которая может принимать значения ±1, определим из требования отсутствия квадратичного по переменной xc слагаемого в каноническом уравнении параболы:

b	= a11 + a22	+	a		− a	22	+	4a122	cos 2ϕ		= 0.
11	2			11						2
								a11 −a22

Отсюда с учетом (21.42) получаем следующие выражения:

I

+I 2

cos 2ϕ

= I

+I 2

S

= I

(1+ S) = 0,

)

1

1 (a −a

1

1 I

1

11

22

1

из которых следует, что

S = −1.

Теперь для функций двойного угла получаем:

cos 2ϕ = −

a11 −a22

,

sin 2ϕ = −

2a12 .

(21.43)

I

I

1

1

У всех предыдущих кривых каноническая система определялась с точностью до поворота на 180 градусов из-за их симметрии. В случае же параболы такая симметрия отсутствует, и поэтому соотношения (21.43) еще не полностью определяют поворот к канонической системе отсчета.

Из выражения для косинуса двойного угла (21.43) можно определить квадрат тангенса самого угла:

2

2

tg2ϕ = sin

ϕ

=

1

−cos 2ϕ

=

I1

+(a11 − a22 )

=

a11

=

a11

,

2

ϕ

1

+cos 2ϕ

I1

−(a11 −a22 )

a22

cos

a12

а учитывая известное значение тангенса двойного угла при стандартном преобразовании

tg2ϕ =		2a12			≡			2tgϕ	,
	a					1		2
			−a	22				− tg ϕ
	11

получаем окончательное выражение для тангенса угла поворота:

	1	2	a11
tgϕ =	2 tg2ϕ (1	− tg ϕ ) = −		.	(21.44)
			a
			12

328

21. Определение параметров и построение кривых по общему уравнению

Это выражение, как и (21.43), определяет искомый угол с точ- ностью до 180 градусов.

Для того чтобы найти сам угол поворота, необходимо использовать еще одно условие, вытекающее из сравнения канонического y2 = 2 px (ïðè p > 0) и приведенного b22 y2 + 2b13 x = 0 уравнений параболы. Условие p > 0 приводит к тому, что знаки коэффициентов b22 è b13 должны быть противоположными:

b22b13 < 0.

Коэффициент b22 при условии, что b11 = 0, равен первому инварианту, b22 = I1, а коэффициент b13 определяется соотношением

b13 = a13 cosϕ + a23 sinϕ ,

полученным при доказательстве теоремы об инвариантах кривых второго порядка.

Используя эти выражения, получаем следующее неравенство:

I1(a13 cosϕ + a23 sinϕ ) = I1 cosϕ (a13 + a23tgϕ ) = I1 cosϕ a13 − a23 a11 < 0.

a12

Преобразуем левую часть этого неравенства, предполагая, что все старшие коэффициенты не равны нулю:

a23a11

a23a11a12

I1 cosϕ a13

−

= I1 cosϕ a13

−

=

a12

a12a12

= I cosϕ

a

−

a23a11a12

=

I1

cosϕ a a

22

− a

a

< 0.

1

13

a11a22

(

13

23

12 )

a22

Так как для параболических кривых I2 = a11a22 −a12a12 = 0, то произведение a11a22 = a122 > 0 — положительная величина, а зна- чит, a11, a22 и их сумма a11 + a22 = I1 имеют одинаковый знак, а

следовательно, отношение I1 — положительная величина.

a22

329

III. Кривые и поверхности второго порядка

Тогда получаем окончательное неравенство:

cosϕ (a13a22 −a23a12 )< 0,

из которого определяем величину косинуса угла:

cosϕ =	1+cos 2ϕ	sign cosϕ	)	=		a22		sign		a	a		− a a		,	(21.45)
	2				a + a
		(					(				23	12		13	22 )
					11		22
а с помощью выражения (21.44) и синуса угла
sinϕ =	1−cos 2ϕ	sign(sinϕ ) = −				a11			sign	a		a		− a a		. (21.46)
	2					a11 + a22				( 23		11		13	12 )
Мы видим, что в ситуации, когда a22 = 0 (èëè														a11 = 0), çíàê íå

нуждается в определении, так как в этом случае сама величина cosϕ (èëè sinϕ) равна нулю.

Только что полученные выражения однозначно определяют угол поворота между исходной и канонической системой отсчета. Если совершить только поворот на этот угол, то в полученной повернутой системе отсчета уравнение параболы будет иметь вид

b	y2	+ 2b	x + 2b		y + a = 0,		(21.47)
22	1	13	1	23	1	33
ãäå b22 = I1, b13 = a13 cosϕ + a23 sinϕ ,					b23 = −a13 sinϕ + a23 cosϕ.
При этом коэффициенты			b13 = a13 cosϕ + a23 sinϕ				è b22 будут
разного знака.

Для перехода в каноническую систему отсчета осталось выполнить параллельный перенос, переводящий начало повернутой системы отсчета в вершину параболы. Для определения координат вектора ( X1 ,Y1 ) этого переноса достаточно выделить в (21.47) полный квадрат по отношению к переменной y1, а затем произ-

вести сдвиг переменной			x1 :
b y2	+ 2b x + 2b y + a = b			y +		b23	2	−	b232	+ 2b x + a =
22 1	13 1	23 1	33 22		1	b22			b22	13 1 33

330

21. Определение параметров и построение кривых по общему уравнению

= b

y + b23

2

+ 2b

x +

a33

−

b232

≡

22

1

b22

13

1

2b13

2b13b22

≡ b22 (y1 −Y01 )2 + 2b13 (x1 − X01 )= 0.

Величины

		1	2						b23
	X01 =			b23	−a33		è Y01	= −		(21.48)
		2b13							b22
			b22

являются координатами вершины параболы в повернутой системе отсчета. Теперь можно найти координаты вершины в исходной системе отсчета, используя связь между координатами:

X		= X		cosϕ −Y	sinϕ	.	(21.49)
	0		01	01
Y0 = X01 sinϕ +Y01 cosϕ

Полученные соотношения полностью определяют каноническую систему отсчета, потому что мы уже знаем и угол поворота, и координаты начала координат.

Однако в практических расчетах приведенный алгоритм не всегда удобен, так как требует вычисления коэффициентов в повернутой системе отсчета, а этого мы как раз и пытались избежать. Ведь перед нами стояла задача определения места нахождения кривых прямо в исходной системе отсчета. Для этой цели существует несколько других алгоритмов, один из которых мы

	приведем здесь.	b23
	Координата вершины параболы Y = −		определяет смеще-
	01	b22

ние оси параболы от оси абсцисс в повернутой системе отсчета. Следовательно, уравнение оси параболы в повернутой системе отсчета будет иметь вид:

y1 = − b23 .

b22

Теперь используем связь между координатами в исходной и повернутой системах

331

III. Кривые и поверхности второго порядка

x = x cosϕ + y sinϕ		,
1	= −xsinϕ + y cosϕ
y1

и получаем уравнение оси параболы в исходной системе отсчета

y1 = − b23 = −xsinϕ + y cosϕ.

b22

Сюда подставляем выражения для коэффициентов

b23 = −a13 sinϕ + a23 cosϕ è b22 = I1 :

−a13 sinϕ + a23 cosϕ = −I1 (−xsinϕ + y cosϕ )

и сокращаем на cosϕ :

−a13tgϕ + a23 = −I1 (−xtgϕ + y).

Используя выражение для тангенса угла tgϕ = − aa11 , оконча-

тельно получаем уравнение оси параболы.	12
a13a11 + a23a12 = I1(a11x + a12 y).

Если в исходном общем уравнении параболы коэффициент a11 = 0, а, следовательно, и a12 = 0, то вместо этого уравнения надо использовать уравнение, преобразованное с учетом равен-

ñòâà I2 = a11a22 −a122 = 0 :

a13a12 + a23a22 = I1 (a12 x + a22 y).

Таким образом, ось параболы в исходной системе отсчета определяется одним из уравнений (или ими обоими):

a	x + a y =	a13a11 + a23a12	,	(21.50 à)
11	12	I1

332