Учебник

21. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ И ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ ПО ОБЩЕМУ УРАВНЕНИЮ

Âпредыдущих разделах мы научились путем последовательных преобразований — поворотов и параллельных переносов — переходить в каноническую систему отсчета, а также определять вид кривой по общему уравнению через инварианты. Однако, при введении инвариантов мы говорили о том, что они должны быть обязательно связаны с геометрическими параметрами кривых — полуосями, эксцентриситетом, фокальным параметром

èт. д. Следовательно, знание инвариантов должно не только помочь нам определить тип кривой, но и обязательно дать возможность определить все ее геометрические параметры.

Âэтом разделе мы получим соответствующие соотношения, а затем решим задачу об определении местонахождения канони- ческой системы отсчета без непосредственных преобразований координат, которые зачастую требуют громоздких вычислений.

21.1. Связь параметров кривой с инвариантами. Характеристическое уравнение

Итак, перед нами стоит задача вычисления коэффициентов в приведенных уравнениях без перехода от исходных уравнений к приведенным. В этом нам помогут, как и в случае с определением вида кривой, инварианты кривых второго порядка.

Особенно просто выглядит такой расчет для параболы, приведенное уравнение которой имеет вид:

313

III. Кривые и поверхности второго порядка

b	y2 + 2b x = 0.	(21.1)
22	13

В этом разделе мы используем обозначения, в которых aij являются коэффициентами заданного уравнения кривой в исходной системе отсчета, а коэффициенты bij — коэффициентами в канонической системе.

Сравнивая это соотношение с каноническим уравнением параболы y2 = 2 px, для параметра параболы получаем выражение для

параметра p = −b13 / b22 .			Затем вычисляем инварианты					I1 = b22 è
			0	0	b13		b2 .
I	3	=	0	b	0	= −b		(21.2)
				22		22	13
			b13	0	0

Отсюда находим выражения для коэффициентов приведенно-

го уравнения:
b	= I	è b = −	I3	(21.3)
22	1	13	I1

и окончательно выражаем параметр параболы через инварианты:

p = −	I3	.	(21.4)
	I 3
	1

Таким образом, если парабола задана общим уравнением второго порядка, то ее параметр можно находить с помощью соотношения (21.4), не производя ни поворотов, ни параллельных переносов для перехода в каноническую систему отсчета.

Отметим, что величина p, заданная соотношением (21.4), всегда существует для кривых параболического типа, так как у них инвариант I1 не может быть равен нулю, а I1I3 < 0. Попробуйте доказать это самостоятельно.

Аналогичным способом можно определить основной параметр пары параллельных прямых, а именно — квадрат расстояния между ними. Для этого, исходя из их приведенного уравнения

b	y2 +b = 0,	(21.5)
22	33

314

21. Определение параметров и построение кривых по общему уравнению

вычислим инварианты:

I1 = b22 , I2 = 0, I3 = 0, K = b22b33

(21.6)

и выразим коэффициенты уравнения через них. В итоге уравнение (21.5) приобретет вид:

		I y2 + K			= 0,	(21.7)
			1	I1
	òî åñòü
		y2 = −		K	≡ h2 .	(21.8)
				I 2
				1
	Здесь величина h2 = −	K	может быть названа квадратом рас-
		I 2
		1

стояния между прямыми, и мы в очередной раз убеждаемся, что метод инвариантов позволяет определять параметры кривой прямо по исходному общему уравнению кривой второго порядка.

Теперь обратимся к линиям эллиптического и гиперболического типов. Приведенное уравнение для этих кривых имеет вид

b x2	+b	y2 +b = 0.	(21.9)
11	22	33

Следовательно, инварианты оказываются равными

I1 = b11 +b22 , I2 = b11b22 , I3 = b11b22b33.

(21.10)

Коэффициент b33 выражается через второй и третий инварианты:

b =	I3	.	(21.11)
33	I2

Это выражение всегда определено, так как для эллиптических и гиперболических кривых инвариант I2 ≠ 0.

Чтобы выразить первые два коэффициента через инварианты, приходится решать следующую систему уравнений:

315

III. Кривые и поверхности второго порядка

b		+b	= I	(21.12)
	11	22	1 .
	b11b22 = I2

С другой стороны, можно попытаться сразу написать уравнение, корнями которого являются величины b11 è b22 :

(λ −b11 )(λ −b22 ) = 0.

(21.13)

После раскрытия скобок из этого соотношения получаем

уравнение
λ 2 −(b	+b	)λ +b b = 0,				(21.14)
11	22			11	22
èëè
λ 2 − I λ + I			2	= 0.		(21.15)
	1

Мы получили уравнение, которое, с одной стороны, дает возможность определить параметры кривой в канонической системе отсчета, а с другой стороны, является инвариантным, то есть оно может быть составлено и, главное, решено в любой системе отсчета, в которой задано исходное уравнение данной кривой. Это уравнение называется характеристическое уравнение. Заметим также, что уравнение (21.15) могло быть получено прямо из системы (21.12), а вывод (21.13)–(21.15) есть не что иное, как применение теоремы Виета о корнях квадратного уравнения.

Решение характеристического уравнения (21.15) может быть записано в виде:

λ	=	1	(I		±	I 2	− 4I		) .	(21.16)
1,2		2		1		1		2

Этот результат определяет старшие коэффициенты в приведенном уравнении кривой эллиптического и гиперболического типов, то есть, фактически, определяет полуоси у этих кривых.

Решение (21.16) всегда существует, дискриминант уравнения (21.15) D = I12 −4I2 всегда неотрицателен. Чтобы убедиться в этом, можно подставить в выражение для дискриминанта определение инвариантов через коэффициенты уравнения кривой:

316

21. Определение параметров и построение кривых по общему уравнению

D = I 2	−4I	2	= (a + a )2				− 4(a a − a a ) =
1				11	22			11	22	12	12	(21.17)
		= (a −a )2				+ 4a2		≥	0.
			11		22		12

Мы видим, что он является суммой двух квадратов вещественных величин, а значит, он не отрицателен. Ситуация, в которой дискриминант равен нулю, соответствует эллиптической кривой

(так как тогда I2 1 0 ) с одинаковыми полуосями, то есть ок-

= I 2 >

4

ружности (мнимой или вещественной). В то же время решение (21.16) может применяться для кривых параболического типа, при этом один корень будет равен первому инварианту λ p = I1, а второй будет равен нулю.

Мы решили задачу об определении параметров кривой второго порядка без непосредственного перехода в каноническую систему отсчета. Однако, сам переход от начальной системы к канонической путем последовательных поворотов и параллельных переносов все еще остается громоздкой задачей, требующей большого количества вычислений. Это связано, в частности, с тем, что мы еще не полностью определили угол поворота для перехода в каноническую систему отсчета, а для кривой параболического типа не определили местонахождение начала отсчета канонической системы координат.

21.2. Эллипс

Сначала определим полуоси эллипса. Для этого используем корни характеристического уравнения λ1,2 . Пусть λa — это меньшее из абсолютных значений корней λ1,2 , à λb — большее из этих значений, то есть:

λa,b =	1	(		I1			I12 −4I2 )		(21.18)
	2						b	x2 +b y2	+b = 0 приобре-
Тогда каноническое уравнение
							11	22	33

òàåò âèä

317

III. Кривые и поверхности второго порядка

λ

a

x2signI

1

+λ

b

y2signI

1

+

I3

= 0

I2

λ

a

x2

+λ

b

y2

= −

I3

signI

=

I3

sign(−I I

)

I2

1

I2

3 1

x2

+

y2

= sign(−I

I ).

I3

I3

3

1

I2λa

I2λb

Отсюда

äëÿ

квадратов

полуосей

получаем:

b2 =

I3

,

à ñ

учетом соотношения

λaλb

= I2 ,

I2λb

(21.27), имеем

I3

a2 ,b2 =

(

I

± I

2

− 4I

).

2I22

1

1

2

	a2 =		I3		è
		I2λa

следующего из

(21.19)

Здесь необходимо отметить, что нам удалось получить для величин полуосей инвариантные выражения, которые, безусловно, должны были существовать, так как полуоси характеризуют геометрические свойства эллипса, не зависящие от системы отсчета.

Теперь нашей задачей является точное определение угла поворота между исходной системой и канонической, так как для центральных кривых мы умеем находить центр с помощью соответствующей системы уравнений (19.23). Что же касается угла поворота, то мы знаем только тангенс его двойной величины:

tg 2ϕ =	2a12
			.
	a	−a
11		22

Отсюда можно найти косинус и синус двойного угла с точностью до знака:

cos 2ϕ =			a11 −a22	S =		a11 −a22				S,
		(a11	−a22 )2 + 4a122				D
sin 2ϕ =			2a12		S =		2a12	S.		(21.20)
		(a11 −a22 )2 + 4a122					D

318

21. Определение параметров и построение кривых по общему уравнению

Здесь величина S равна единице или минус единице:
S = ±1.	(21.21)

Знак этой величины мы будем пытаться определить из условия, чтобы приведенная система координат являлась канонической.

Заметим, что в знаменателях выражений (21.20) стоит корень из дискриминанта D (21.17) характеристического уравнения, и если он равен нулю, то углы поворота оказываются неопределенными. Это соответствует случаю окружности, для которой все углы поворота вкруг центра равноправны между собой.

Для дальнейших действий выпишем еще раз связь между коэффициентами в исходной и повернутой системе отсчета:

	b	= a	cos2 ϕ + 2a		cosϕ sinϕ + a	sin2 ϕ ,
	11	11		12	22
	b	= a	sin2 ϕ −2a		cosϕ sinϕ + a	cos2 ϕ ,
	22	11		12	22
b	= −a	cosϕ sinϕ + a		(cos2 ϕ −sin2 ϕ ) + a cosϕ sinϕ.
12	11		12			22
Используя условие b12 = 0,				исключаем из первых двух соотно-
шений коэффициент 2cosϕ sinϕ , тогда

b11

b22

=

a

+

2a122

cos2

ϕ +

a

22

−

2a122

sin2

ϕ ,

(21.22)

11

a11 −a22

a11 −a22

=

a

+

2a122

sin2

ϕ +

a

−

2a122

cos2

ϕ.

(21.23)

11

22

a11 −a22

a11 −a22

Теперь учтем, что в случае эллипса коэффициенты b11 è b22 имеют
одинаковый знак (так как b b		= I	2	+b2 > 0), причем он совпадает со
11	22			12
знаком коэффициентов a11,	a22 , потому что b11 +b22 = I1 = a11 + a22 .

И предположим пока, что все эти коэффициенты положительны.

	Тогда в канонической системе отсчета коэффициент b				=	1
						a2
	соответствует большой полуоси, а b	=	1	11
				— малой, следователь-
			b2
	22

íî, b11 < b22 . Соотношения (21.20), (21.21) с помощью известных тригонометрических соотношений

319

III. Кривые и поверхности второго порядка

cos2 ϕ =		1+cos 2ϕ		è	sin2 ϕ =			1−cos 2ϕ				(21.24)
			2						2
могут быть переписаны следующим образом:
b = a11 + a22			+ a −a			+	4a122		cos 2ϕ		,	(21.25)
					22
11	2		11				a11 −a22
									2

b = a11 + a22		−	a −a		22	+	4a122	cos 2ϕ .
22	2			11					2
							a11 −a22

Подставляя эти выражения в неравенство b11 < b22 , стейших преобразований получаем:

(21.26)

после про-

	cos 2ϕ	< 0			1		a11 −a22	S < 0	S < 0.
				a11	−a22
	a11 −a22						D
В случае, когда a11			è a22		(а вместе с ними и				I1) отрицательны,
мы получаем противоположное условие b11 > b22 , из которого сле-
дует противоположное неравенство S > 0. Отсюда получаем, что
äëÿ S можно написать такое выражение:
		S = −sign(a11 + a22 ) = −sign I1.							(21.27)

Теперь соотношения (21.20) однозначно определяют двойной угол, из которого можно найти и сам угол поворота из исходной системы в каноническую, например, так:

cosϕ = ± 1+cos 2ϕ sign(sin 2ϕ ),		(21.28 à)
	2
sinϕ = ±	1−cos 2ϕ .	(21.28 á)
	2

Заметьте, что у нас еще остался произвол в выборе знака. Этот произвол связан с произволом выбора канонической системы от- счета у эллипса как геометрической фигуры.

320

21.Определение параметров и построение кривых по общему уравнению

21.3.Гипербола

Âканонической системе отсчета приведенное уравнение ги-

перболы

b

x2 +b

y2

+b

= 0

должно иметь такой же вид, как

11

22

33

x2 / a2 − y2 / b2 −1 = 0,

è

каноническое

уравнение

гиперболы

òî

åñòü

отличаться

îò

уравнения

сопряженной гиперболы

x2 / a2 − y2 / b2 +1 = 0.

Значит,

â

íåì

знаки

коэффициентов b

è b33 должны быть противоположны:

11

b11b33 < 0.

Коэффициент b33

можно выразить через инварианты

b b = b

b11b22b33

≡ b

I3

< 0.

11

33

11

b b

11 I

2

11

22

А так как знак инварианта I2

определен для кривых гипербо-

лического типа: I2 < 0, то из предыдущего неравенства получим

искомое неравенство, определяющее знак b11

и содержащее, кро-

ме коэффициента b11, лишь инварианты:

b11I3 > 0.

Теперь можно найти полуоси гиперболы. Давайте среди корней характеристического уравнения λ1,2 выберем тот корень, который имеет тот же знак, что и третий инвариант и назовем его λ (+) : λ (+) I3 > 0. Такой выбор всегда однозначен, потому что у гиперболы второй инвариант отрицателен, а, следовательно, корни характеристического уравнения имеют разные знаки. Кроме того, и знак третьего инварианта всегда определен, потому что у гиперболы I3 ≠ 0.

Теперь достаточно вместо b11 подставить λ (+) , а вместо b22 подставить λ (−) — второй из корней характеристического уравнения. Тогда из приведенного уравнения гиперболы b11 x2 +b22 y2 +b33 = 0 получим:

321

III. Кривые и поверхности второго порядка

λ (+) x2 +λ (−) y2 = −

I3

=

I3

λ (+)

x2 −

λ (−)

y2 =

I3

.

I2

I2

I2

Отсюда для квадратов полуосей получаем выражение

a

2 ,b2 =

I3

λ ( ) ,

I22

ãäå sign(λ (±) I3 ) = ±1, которое так же, как и в случае с эллипсом, есть инвариантная величина.

Чтобы определить угол поворота, подставим в соотношение

b11I3 > 0 выражение (21.23) для b11, содержащее косинус двойно-

ãî óãëà

cos 2ϕ.

a

+ a

a

−a +

4a2

cos 2ϕ

I

11

22 +

12

3

> 0,

2

a11 −a22

2

à ñàì

cos 2ϕ

выразим через искомую величину

S с помощью

(21.18). Тогда это неравенство сводится к виду:

(I1 + S

D) I3 > 0.

(21.29)

Напомним, что S

принимает значения ±1.

Здесь опять используем тот факт, что для гиперболы I2 < 0. В этом случае дискриминант характеристического уравнения D

может быть переписан в виде

D = I 2 −4I

2

= I 2 + 4

I

2

> I 2

,

1

1

1

а значит, корень из него заведомо больше модуля I1 :

D =

I 2 + 4

I

2

>

I

.

1

1

Следовательно, величина

S

D + I1

имеет тот же знак, что и

S

D, а следовательно, тот же знак, что и

S. Значит, в этом слу-

÷àå

S = +1 .

для величины S

получаем S = −1. Òà-

Аналогично, в случае I3 < 0

ким образом, искомая величина S определяется знаком третьего инварианта:

322