книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

60	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2

Допустим теперь, что неравенство (5) выполнено, и покажем, что многочлен L (р) устойчив. Для этого будем менять коэффициент с так, чтобы он стремился к нулю, оставаясь положительным, и чтобы неравенство (5) при этом не нарушалось. При с = 0 мы получаем многочлен

и,Р) — Р(Рг + аР + ь\

имеющий один нулевой корень и два корня с отрицательными дей­ ствительными частями. При малом положительном с эти два корня мало изменятся, так что произведение их останется положительным, а нулевой корень перейдет в малый положительный или отрицательный.

Так	как	произведение всех	трех корней равно отрицательному чис­
лу	— с,	то корень, близкий	к нулю, будет отрицателен.

Итак, теорема 6 доказана.

Для того чтобы формулировать необходимые и достаточные усло­

вия устойчивости	любого	многочлена			с	действительными коэффици­
ентами, условимся	сначала	о	терминологии. Пусть
		/	Рп	Рн • • •		Pin \
	_	/	Рп	Pii	• • •	Pin 1
			РпI	Pni	• • •	Рпп ,

— произвольная квадратная матрица		порядка п. Будем называть ее
главным k-м минором детерминант матрицы
Рп	Рп	Р\к
Рп	Рп	Pik
,Pk1	Pki	• • • Pkk)

минор этот мы будем обозначать через ДА(Р). Таким образом, детер­

минант ДЛ(Р) составлен из элементов		матрицы Р,	входящих	в пер­
вые k столбцов	и строк.
Т е о р е м а 7.	Пусть
	и0рп a{pn~l -j-	а»>	0	(8)
— произвольный,	многочлен степени	п с действительными		коэф­

фициентами. Д ля того	чтобы	выяснить		вопрос о его устойчи­
вости, составляют матрицу
	/ « 1	Яз	#5 ...	0 \
	я»		...	о
Q =	0	Я|	я3
	1°		яn-i	ani

§ 9]

УСТОЙЧИВЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

61

порядка п. Оказывается,

что

многочлен (8) устойчив

тогда и

только тогда, когда все главные

миноры

Aa(Q), k — 1,

я

матрицы Q

положительны.

Теорема

7 в этой

книге

доказана

не будет. Доказательство ее

можно найти, например, в книге:

Н.

Г.

Ч ет а ев,

Устойчивость

дви­

жения, Гостехиздат, М., 1956 (см. стр.

79 — 83).

Во избежание недоразумений

опишем матрицу

Q. Столбец номера

k матрицы Q имеет вид:

...

aA+s

ak+ i ahak_xak_v ...,

где элемент ak стоит на главной

диагонали; при

этом

элемент

а*+^,

индекс k - \ - j которого отрицателен

или

больше п,

считается

рав­

ным нулю.

П р и м е р ы

1. Выведем из теоремы 7 теорему

6. В случае

п = 3 матрица Q

имеет вид:

/а,

а,

0 \

«о

О

\0

а,

аъ)

Ее три главных минора имеют значения

A,(Q) = a„

bi (Q) =

al ai — а3а3,

M Q ) =

<V M Q)-

Условие их

положительности

вместе

с

условием

положительности

коэффициента ae равносильны условиям:

a0> 0,

а , >

0,

а3>

0, a ia 4>

a 0a3.

Из совокупности этих условий вытекает, как легко

видеть,

положи­

тельность коэффициента

а4.

Таким образом, в случае л = 3 теорема 7

превращается в теорему 6.

Q имеет

2. В случае я =

4

матрица

вид:

/а,

а3

0

0

\

а0

аа

«4 0

|

^

I

0

а,

а3

О I.

\0

а0

as ak)

Ее главные миноры имеют следующие значения:

M Q ) =

ai;

M Q ) =

a ia 4— a0 a3;

Д3(Q) =

а3Да (Q) — а\ ас,

Д4(Q) =

я4■Д3 (Q).

Условие положительности

этих

миноров

вместе

с

условием

эквивалентно, как легко видеть,

условиям

« „ > 0 ,

ai> ° >

а4> ° .

а3> 0 ,

at > 0 ,

Д3(Q) =

«1 «а а3— й„ ajj — а\ ak>

0.

62	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2

§ 10. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

Здесь будет дано решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами со свободным членом специального вида, являющимся так называемым к в а з и м н о г о ч л е н о м .

А) Квазимногочленом будем называть всякую функцию F(t), которую можно записать в виде:

/ 7(0 = / i ( 0 «Xl' + A ( 0 *x*, +

••• + / « ( 0 ех»'.

( 1)

где

Xj,

Х2, ... , Xm

суть

некоторые

комплексные

числа,

а

/,(/),

•••

>fm ( 0 — многочлены

от t. Из

предложения В) § 8 следует,

что каждое решение линейного

однородного уравнения с постоянными

коэффициентами является квазимногочленом. Можно

доказать,

что и

обратно, каждый квазимногочлен является решением

некоторого

линейного однородного уравнения с постоянными

коэффициентами.

Если какие-нибудь

два

числа

последовательности

Хх, Х2......... Хт

сов­

падают между собой,

например, если

Х, = Х4, то члены

суммы

(1),

соответствующие этим

числам,

можно

объединить

и

заменить

чле­

ном f/i (0 + /* (t)) ех»*. Таким

образом,

запись (1)

всегда

можно

при­

вести к такому виду, что числа Xt, Х2,

... , Хт , входящие

в нее,

по­

парно различны. Отметим, что сумма

и

произведение двух

произ­

вольных

квазимногочленов также есть

квазимногочлен;

далее,

если

к

произвольному

квазимногочлену

применить

произвольный

опе­

ратор L (р), то мы вновь получим квазимногочлен.

Таким образом, в настоящем параграфе будет рассматриваться

уравнение

L (p)z = F(t),

(2)

где

F(t)

есть некоторый

квазимногочлен.

Наряду

с

уравнением

(2)

рассмотрим соответствующее

однородное

уравнение

L(p)u =

0.

(3)

Нижеследующее предложение непосредственно вытекает из заме­ чания Б) § 6.

Б) Если г есть некоторое решение уравнения (2), то произволь­ ное решение z того же уравнения может быть записано в виде:

z = z-\-u ,

где и есть некоторое решение уравнения (3).

Так как произвольное решение однородного уравнения мы оты­ скивать уже умеем, то дело сводится, таким образом, к отысканию одного решения или, как говорят, частного решения уравнения (2) в случае, когда F(t) есть квазимногочлен. Так как, далее, каждый квазимногочлен записывается в виде (1), то в силу замечания В) § 6

% 101	ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ					63
дело сводится к отысканию частного решения			уравнения		(2)	в слу­
чае, когда F ( t) = f( t) еи ,		где f(t) — многочлен. Для		этого		случая
решение отыскивается в нижеследующей теореме.
Во избежание недоразумений отметим, что в дальнейшем под
многочленом с т е п е н и г		мы будем понимать	функцию	вида		а0Г-}-
...	-\- ar_{t	аг, не предполагая	непременно,		что	стар­
ший коэффициент а0 отличен от нуля.
Т е о р е м а	8. Рассмотрим неоднородное		уравнение
		L ( p ) z = f( t) ext,				(4)

в котором /(/) есть многочлен степени г относительно t, а X— комплексное число. Пусть k — 0, если L (X) ф О, и k — кратность корня X, если L(K) = 0. Оказывается, что существует частное решение уравнения (4), имеющее вид:

z — tkg(t) еи ,

(б)

где g(t) есть многочлен степени г относительно t. Коэффициенты многочлена g(t) можно найти методом неопределенных коэф­ фициентов.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим:

/(<) = а „ Г + / * ( 0

(6)

и будем искать многочлен g(t) в виде:

			g(t) =		bQtr +	g*(t),					(7 )
где многочлены		f*{t) и g*(t)			имеют	степень г — 1.			Далее,	в	силу
выбора числа	k мы имеем:
		L{p) =			M (р) (р — X)*,						(8)
где М (X) ф 0.	Для того		чтобы		функция (5) являлась решением урав­
нения (4), должно быть выполнено условие (см. §								8, А))
L ip) еи th g{i) =				еи L (p - \- \) tkg(t) =				e“fit),
т. e. многочлен g(t) должен				удовлетворять условию:
		L(p +		V t kg(t) = f ( t ) .							(9)
Многочлен M(p-j-X) имеет своим свободным							членом число М (X) Ф 0
и потому может быть записан в виде:
М(р-]- X)=			M (X)-f М*(р)р,				М (X) ф 0.				(10)
Принимая во	внимание		соотношения (6), (7),				(8) и (10), мы			можем
теперь условие		(9), налагаемое			на многочлен git),				записать	в	виде:
h М (X )/ tk+r +		b0 М* (p)pk+1tk*r -\-L (p -\- X)4 g* (t) = а0 tr + / * Ц).

( П )

64	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	[Гл. 2
Приравнивая члены, содержащие tr в равенстве (11), получаем		соот­
ношение		(12)
	h M (k ) p htk+r = a,tr,

из которого коэффициент Ь0 искомого многочлена g(t) определяется (ибо М (к) ф 0) и притом однозначно. Будем считать теперь, что коэффициент Ьа уже выбран, так что соотношение ( 12) выполнено; тогда соотношение ( 11) принимает вид:

L(p +

k)tkg * ( t ) = f * ( t ) - b aM*(p)pk+l tk" ,

(13)

где в правой

части равенства стоит известный

многочлен

степени

г — 1, а

слева — неизвестный многочлен

g* (t)

степени г — 1.

Урав­

нение (13) отличается от уравнения

(9)

только

степенью

вхо­

дящих в него многочленов, которая понизилась

на

единицу.

Повто­

ряя для уравнения (13) вычисления, проведенные

ранее

для

уравне­

ния (9), мы вычислим коэффициент Ьх

при

высшей, т.

е. (г— 1)-й

степени

t

многочлена g* (t). Продолжая

этот

процесс

дальше,

мы

вычислим все коэффициенты Ьй,

blt ...

,

br

многочлена

g(t)

таким

образом,

чтобы

он

удовлетворял

условию

(9),

и

тем самым

найдем

решение вида (5) уравнения (4).

Можно было бы подставить решение вида (5)

прямо в уравне­

ние (4) и,

считая

коэффициенты

многочлена

g(t) неизвестными,

по­

лучить для

этих коэффициентов

систему

линейных

уравнений путем

приравнивания коэффициентов при одинаковых членах в правой и левой частях соотношения (4). Проведенные выше вычисления по­ казывают, что система уравнений, получаемая для коэффициентов

многочлена g(t) разрешима.

Таким образом, теорема 8 доказана.

для

определения

коэффици­

З а м е ч а н и е .

Полученная

система

ентов

многочлена

g(t)

является

системой

линейных уравнений

с тре­

угольной

матрицей:

при приравнивании

коэффициентов

у

членов

V еи мы

получаем

уравнение, содержащее только Ьа; при приравнива­

нии коэффициентов

у

членов

мы

получаем уравнение,

содер­

жащее только Ь0 и Ьь

и т. д.

Установим одно важное свойство квазимногочленов.

В)

Если квазимногочлен

F ( t ) = f i(0 « X‘'+ / * ( 0 * V +

-

• •

+ /m ( 0 * V ,

где Х„

Х2, ..., Хт — попарно

различные

числа,

тождественно

равен

нулю

на

некотором

интервале ^ < ^ < 3 4 , то

все многочлены /,(£),

. .

., f m(t)

тождественно

равны

нулю,

а следовательно,

и все

коэффициенты квазимногочлена F(t) равны нулю. Из этого непос­ редственно следует, что если два квазимногочлена F(t) и F* (t) тож­ дественно равны между собой на некотором интервале rx<^t<^ri, то их соответственные коэффициенты совпадают.

101			ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ						G5
Предложение			В) будем доказывать индуктивно по числу т,						ко­
торое	будем	здесь называть			порядком квазимпогочлепа			F (t).	При
т = 1	оно	справедливо,		так	как	в этом	случае равенства F(t) =
= / ((Y)eV =		0	и f y(t) =	0 эквивалентны. Проведем теперь				индуктив­
ный переход		от	т — 1 к	т { т ^		2). Если квазимногочлен		F(t) тож­
дественно равен нулю на интервале							то это же	имеет	мес­
то и для квазимпогочлепа
			G(t) =		pUl (F(0 < fV		).

где р — оператор дифференцирования, а I-

В силу	предложения	А) § 8 мы имеем:
0 (t ) =	(Х._Х	Ц .
	g l {t)e 1 "	+ f t ( 0 e 1 "
где

степень многочлена f m(t).

x”

Si (0 =

(P +

h ~

K )l+if i (/),

*=

1,. . •, m -

1.

Квазимногочлен

G(t)

имеет порядок m — 1

и так как он тождествен­

но равен нулю на интервале

rx< ft< frb

то в силу предположения

индукции все многочлены

. ., gm_x (t) тождественно равны нулю.

Предположим, что какой-либо из многочленов

fx{t),. •

• >/ m-i(0

не

равен

нулю,

например

(/) ^

0, и приведем

это предположение

к

противоречию.

Допустим,

что

многочлен f v(t)

имеет степень k, т. е.

fx (t) =

ай(к -j- a,/*-1 -f-. .

.-\-ak,

причем a0 ф 0.

Непосредственно про­

веряется, что

S\ (0 =

(p~h

— ^тУ+1/1

(0 =

(^1 —

ао tk 4" •

• • •

а так

как многочлен

gt (t) тождественно

равен нулю

на интервале

гj / <frb то

мы имеем:

( > ч - и '+Ч

= о.

Так как числа X, и Хт различны, то из этого следует, что а0= 0. Полученное противоречие доказывает, что все коэффициенты мно­

гочленов /,(/) ...........fm-i(t)			равны нулю, т.	е.	F (t)— f m( t) e m . От­
сюда мы заключаем, что и все ^коэффициенты					многочлена f m{t) так­
же равны	нулю.			квазимногочленов F (/) и
Случай тождественного			равенства двух
F* (t) на	интервале гг	t <f гг сводится к		рассмотренному путем об­
разования	квазимногочлена		F(t) — F* (/).
Итак,	предложение	В)	доказано.

Пр и м е р ы

КНайдем частное решение уравнения

2 -(—z = t cos t = t е‘‘ -f- e~‘‘.

(14)

3 Поитрягии Л. С.

6 6	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ		[Гл, 2
Решим	отдельно уравнения
	2 +	г = ^ е “,	(15)
	2 +	z = \ t e ~ u.	(16)

Очевидно, что если z есть решение уравнения (15), то г есть реше­ ние уравнения (16). Таким образом, достаточно решить лишь урав­ нение (15). Для него r = 1, X= г, k = \ . Поэтому частное решение следует искать в виде:

i (с1 -f- сЧ) е'К

Соотношение (9) принимает вид:

[ 0 >+ 0 в+ 1] И + Л*) = ^ ,

или

(p*+2ip)(c4 + c4*) = l t .

Это дает:

		2с* +		2 /с Ч - 4 /Л = ^ ,
откуда	с®= — g-1, с’ =		ic3 — ^-. Таким образом,		частное решение
уравнения (15) имеет вид:
а решение уравнения		(14)	оказывается равным
2 +	г — g- < (еи +	е~Н) +		& (e:t — е~ “) = \	cos t - f ~ sin t.

2. Рассмотрим функцию

f(t) = cos 21 ■cos Ы ■eil.

Так как каждый множитель cos 21, cos 3/, elt представляет собой кваэимноточлен, то и их произведение / (t) также есть квазимногочлен. Приведем этот квазимногочлен к виду (1):

cos 2Tcos	2	'	2	е —

__ L еи +во* L е(* + о< L -о*			L
4	т 4	I 4	‘ 4

Приведение квазимногочленов к виду (1) полезно при решении неоднородных уравнений на основе теоремы 8.

§ п ]	МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ	67
	§ 1 1 . Метод исключения
До сих пор	мы занимались решением одного	линейного уравне­

ния с постоянными коэффициентами. Оказывается, однако, что весьма

общую	систему линейных уравнений			с постоянными коэффициентами
можно	в некотором	смысле свести		к одному	уравнению.	Сведение
это осуществляется		м е т о д о м	и с к л юч е н и я ,		аналогичным		тому,
который употребляется в теории			линейных алгебраических			(не	диф­

ференциальных) уравнений. Здесь будет дано изложение этого метода и сделаны некоторые выводы из него.

Мы будем		рассматривать систему				уравнений
		П
		E’ iL sJ(p)xs — f ( i ) ,				/ = 1, . . . . я;				(1)
		S— \
здесь х 1 ...........х п — неизвестные функции							независимого переменного
t, а /'( 0 .	• •	•>/"	(0 — заданные функции				времени t.		Каждый символ
L{(p) представляет			собой	многочлен		с постоянными			коэффициентами
относительно		оператора		дифференцирования р,				так	что один	член
LJs (p)xs	представляет собой				линейную		комбинацию с постоянными
коэффициентами относительно					функции Xs и ее			производных.		Число

уравнений системы ( 1) равно числу неизвестных функций.

Порядок системы (1) относительно неизвестной функции Xs обоз­

начим

через

qs, так

что

общий

порядок

системы

(1) определяется

формулой

q — qt

-)- .

. . -f- qn. Ставя

задачу

решения

системы

( 1), мы, естественно,

д о л ж н ы п р е д п о л а г а т ь ,

что

каждая неиз­

вестная

функция Xs

имеет все производные до порядка qs включи­

тельно; предположение о существовании

производных

более

высоких

порядков не вытекает из постановки задачи.

Применяя к системе (1)

метод исключения,

мы б у д е м п р е д п о ­

л а г а т ь ,

что

каждая

из неизвестных

функций

Xs имеет достаточное

число

производных,

точно

так

же,

как

и каждая

из

функций f 1(/).

Делая

эти

допущения, мы,

с одной

стороны,

сужаем

класс

рассмат­

риваемых решений (предположение о достаточной дифференцируемос­ ти неизвестных функций), а, с другой стороны, сужаем класс рас­ сматриваемых уравнений (предположение о достаточной дифференци­

руемости функций f		(t)).	Первое	из этих ограничений можно	снять,
д о к а з а в , что	если	х 1,	. . ., х п	есть решение системы ( 1)	и если
правые части f	(t) имеют достаточное число производных, то каждая из

Функций Xs имеет достаточное число производных (см. примеры 3 и 4). Перейдем к изложению метода исключения.

А) Рассмотрим матрицу

(L\{p) Lln (РУ

6 8	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2

системы уравнений (1). Каждый элемент L{(p) матрицы (2) есть мно­ гочлен относительно р. Таким образом, можно вычислить детерми­ нант D(p) матрицы (2) и ее миноры. Алгебраическое дополнение элемента L!s (p) матрицы (2) (т. е. минор этого элемента, взятый с

надлежащим знаком) обозначим через М*(р). Из курса высшей ал­ гебры известно, что имеет место тождество:

П

	2 м ] ( р ) Ц ( р ) =			ьго1 ( р ),	(3)
	м
где	есть так называемый символ Кронекера:
	В* =	1,	8* = 0 при i ^		s.
Умножая уравнение (1)		на	многочлен	М ‘(р)	(т. е. производя ряд

дифференцирований, умножений на числа и сложений) и суммируя

ватем

по /,

мы

получаем

равенство

2

М ‘(р)Ц (р)х^

=

У]М'1(р)Л (/).

(4)

J,s=\

)

(При

переходе

от равенств (1) к равенству

(4)

мы

использовали

существование

достаточно

большого

числа

производных у

функ­

ций Xs и Pit).)

В силу (3)

равенство

(4) можно переписать

в виде

D {p)xx = ^M ){p )p {t).

(5)

J

(5) ( / = 1 .......п) обладает

Полученная нами система

уравнений

тем

свойством,

что

каждая неизвестная

функция х ‘ входит

лишь

в

одно

уравнение (5). Мы доказали, таким образом, что если система

функ­

ций л:1,

х п представляет

собой

решение системы (1),

то

каждая

отдельная функция

х ‘ является решением уравнения

(5).

i

Не следует думать, однако, что если для

каждого

номера

вы­

брать

произвольным образом решение

х 1 уравнения

(5)

и затем

со­

ставить систему функций

х 1, . . . , х п, то полученная

система

функций

будет решением системы (1). Для того чтобы найти

о б щ е е

решение

X х, . . . , х п

системы

(1),

нужно найти

общее

решение

х ‘

каждого

уравнения

(5), / =

I.......п,

составить

систему

функций

х х........ а:" и

8атем выяснить, при каких условиях (при каких соотношениях между постоянными интегрирования) эта система функций удовлетворяет системе уравнений (1).

Сделаем теперь	некоторые выводы из метода исключения. Форму­
лируем прежде всего результат, полученный в предложении		А), для
случая однородной	системы уравнений
	П	(б)
£ Щ р ) х ' = о> 7 = 1 , . . . , л.

5= 1

§ 111	МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ				69
Б) Если система функций лет1, ..., х" представляет			собой		решение
системы (6), то каждая отдельная функция		х ‘, входящая		в	это ре­
шение, удовлетворяет уравнению
	D (р) х 1= О,
где	D(p) — детерминант матрицы (Us (p))	системы	(6).	Из этого,

в частности, следует, что если детерминант D(p) есть устойчивый

многочлен		(см. § 9, А)), то		каждое	решение		х 1, . . . , х п системы			(6)
удовлетворяет неравенству
		(лг1)*-)-•••				при /3=0,				(7)
где а	есть	положительная		константа,		зависящая		от	системы (G),	а
R — константа, зависящая от решения						л:1....... х".				9.
Неравенство (7)			непосредственно			следует из неравенства (3) §
Покажем теперь, как, пользуясь методом исключения, следует ре­
шать однородную систему уравнений (6).
Систему (6) перепишем				в Еекторной форме
				L (p )x =		0,				(8)
где L(p) =		(Us (p)) — матрица системы (6), а х = (х 1, . . . , х п).
В)	Допустим, что детерминант				D(p) системы (6)				не обращается
тождественно в нуль, и пусть X— корень многочлена									D(p), имеющий
кратность		А. Будем искать решение уравнения (8),						имеющее вид:
				x = g (t)eu,						(9)
где g (0 =		(g \t) , . . . , g n (t)) — вектор,				компоненты
				g '(t) ....... gnV)					( 10)
которого		являются	многочленами		степени		k —	1	относительно	t

с неопределенными коэффициентами. Каждое решение вида (9) уравне­

ния (8) мы будем называть соответствующим корню X.
Подставляя предполагаемое решение (9) в уравнение (8),			мы по­
лучим (см. § 8, А)):
0	=	L(p)g(t)eu = еи Ц р + \)g ( t ).
После сокращения	на	еи это дает:
		£(/> + *)£ (0 = 0.	(11)

Таким образом, вектор (9) тогда и только тогда является решением уравнения (8), когдамногочлены ( 10) удовлетворяют условию (И). Переписывая векторное уравнение ( 11) вкоординатной форме, получим п соотношений:

SL{(/> + X)gs (0 = 0, / = 1 .......	л.	(12)
5*1