2.2. Основы теории измерений

Измерение  это алгоритм, осуществляющий сопоставление наблюдаемых признаков или величин, характеризующих реальные объекты или явления, с некоторой шкалой (измерительной шкалой), посредством которой наблюдаемым признакам или величинам присваивается определенное обозначение: число, номер или символ. Результат измерения, возникающий в процессе отражения объекта и субъекта наблюдения, направлен на снятие неопределенности субъекта по отношению к наблюдаемому объекту или явлению. При этом на результат измерения может оказать влияние случайность (неопределенность) как объекта, так и субъекта, а также случайные помехи, возникающие в среде (или канале) измерения. Эти случайности приводят к некоторой остаточной неопределенности. Остаточная (апостериорная) неопределенность, получаемая в результате измерений, называется погрешностью измерений и является мерой точности измерения.

Измерение можно представить как способ снятия неопределенности. Суть измерений в полной мере описывается выражением (2.12), которое определяет количество информации, полученной в результате измерений. При измерении случайной величины Х количество полученной информации

,

(2.12)

где H(X)  энтропия (априорная неопределенность) измеряемой величины до измерения, т.е. до опыта ;

H(X/)  энтропия измеряемой величины после измерения, или энтропия погрешности измерения.

Значение энтропии H(X) определяется начальными знаниями субъекта измерения об объекте измерения. Обычно эти знания ограничиваются возможным диапазоном измерения – соответственно верхний и нижний пределы измерения, а также равновероятным представлением о возможном появлении значений измеряемой величины в установленном диапазоне (рис.2.1).

При этих условиях

.	(2.13)

Рис.2.1. Вероятность появления СВ в установленном диапазоне

Энтропия погрешности полученного результата измерения

;
,	^(2.14)

где   абсолютная погрешность измерения, зависит как от свойств субъекта измерения, так и от дезинформационного действия помех, возникающих при измерении или, другими словами, в процессе передачи информации от объекта к субъекту измерения. Выражение (2.14) показывает, что в результате измерения получается не истинное значение , а лишь суженный вN раз интервал неопределенности , в котором может находитьсяс равной вероятностью.

С учетом (2.13) и (2.14) количество информации, полученное в результате опыта ,

,

(2.15)

где число N показывает, сколько интервалов неопределенности длиной d укладывается во всем диапазоне , т.е. какоечисло различимых градаций возможно получить при использовании данного средства измерений.

Величина d может быть определена строго математически для любого закона распределения погрешности.

Так, для нормально распределенной погрешности, т.е. при

получим

(2.16)

Сопоставляя (2.16) и (2.14), можно получить значение d на основании числовой характеристики нормального распределения – СКО:

.

(2.17)

Аналогичным путем интервал неопределенности может быть найден для любого выраженного аналитически закона распределения погрешности.

При измерении различных физических величин с помощью автоматических устройств (измерительных приборов) величина d определяется исходя из метрологической характеристики прибора  класса точности . Для большинства приборов  вычисляется по формуле

,

(2.18 )

где  допустимая абсолютная погрешность прибора;

() диапазон измерения прибора.

На основании (2.15) и (2.18) можно принять

,

(2.19)

а

.

(2.20)

Из (2.20) следует, что при измерении одной и той же величины различные средства (или субъекты) измерения позволяют получить различное количество информации, т.е. обеспечивается различная степень снятия неопределенности об объекте измерения. В случае использования двух измерительных приборов с различным классом точности и различным диапазоном измерения эта разность составит

(2.21)

Пример 2.4. Отец принес из леса корзину белых грибов. Семью заинтересовало содержимое корзины. Младший сын подразделял грибы на «большие» и «небольшие», старшая дочь – на «большие», «средние» и «маленькие». Мать взвесила каждый гриб на весах с диапазоном измерения от 0 до 1 кг и классом точности 1. Следует определить, какое количество информации получили сын, дочь и мать, если известно, что самый маленький гриб весит около 30 г, а самый большой  около 800 г.

Решение. На основании выражения (2.15) получим:

На основании (2.15) и (2.20)

Здесь		 приблизительный (априорный) вес соответственно самого большого и самого маленького грибов;
		 диапазон шкалы весов.

Задания для самостоятельной работы

1. Температуру в помещении, которая изменяется в пределах от 10 до 25 ^oС, измеряли тремя приборами:

 с диапазоном 0  50 ^oС и  = 0,5;

 с диапазоном 50  50 ^oС и  = 1,0;

 с диапазоном 0  100 ^oС и  = 0,1.

Определите, при использовании какого прибора было получено наибольшее количество информации, в каком случае неопределенность была снята в большей степени.

2. Одна и та же случайная величина измерялась двумя различными способами. Предполагалось, что диапазон изменения величины Х = 200. В результате многократных измерений первым способом дисперсия нормально распределенной погрешности составила 2, вторым способом – 4. Найдите количество информации и остаточную неопределенность, полученные в результате измерения первым и вторым способами.

3. Определите, какие часы в большей степени снимают неопределенность времени: электронные, цифровые или механические со стрелкой.