2.3.2. Определение надежности системы

Определение надежности системы, состоящей из элементов, необходимо начинать с построения и анализа надежностно-функцио-нальной схемы (НФС), отражающей алгоритмы . Как правило, эта схема отражает последовательность выполнения функций:

.

(2.51)

В этом случае вероятность безотказной работы системы

.

(2.52)

В некоторых случаях в целях повышения надежности системы отдельные элементы (функции ) или группы элементов (функций ) резервируют. Как правило, это относится к тем элементам системы, которые обладают невысокой надежностью и (или) обладают очень ответственной функцией. При резервированииi-го элемента (функции ) в НФС появляются параллельные соединения, для которых вероятность отказа

,

(2.53)

а вероятность безотказной работы согласно (2.30)

,

(2.54)

где j  число резервированных (параллельных в НФС) элементов, т.е. кратность резервирования функции .

В результате резервирования отдельных элементов или групп элементов могут возникнуть m путей функционирования системы S, т.е. достижение заданной цели Z системы станет возможным по m цепочкам типа (2.51). Тогда . Для таких сложных систем вероятность безотказной работы можно определить по выражению

,

(2.55)

где j  номер пути; k  число элементов на j-м пути; l  число безотказно функционирующих элементов, не входящих в путь, для которого определяется произведение вероятностей, т.е. члены внутренней суммы. Каждый элемент имеет переменный номер i. При вычислении каждого из членов внешней суммы нумерация изменяется так, чтобы элементы, образующие соответствующий путь, имели номер от l до k. Номера этих k элементов не изменяются в пределах внутренней суммы, но при вычислении каждого ее члена изменяется нумерация остальных n - k так, чтобы количество l элементов при каждом значении этого числа последовательно составлялось из всех n - k элементов. Коэффициент равен 1 или 0:= 1 для j = 1, то есть при суммировании по первому пути; при суммировании по остальным путям следует принимать = 0 для всех слагаемых, которые уже встречались на предыдущих путях.

Пример 2.7. На рис.2.4 представлена НФС системы, состоящей из двух основных и двух их резервирующихэлементов. Всего в схеме 4 элемента, то естьn = 4. Характеристики надежности для этих элементов определены через вероятности безотказной работы ии соответственно вероятности отказов.

Х Y

Рис.2.4. Надежностно-функциональная схема

Требуется оценить надежность системы.

Решение. Представленная схема имеет 4 пути функционирования:

j = 1  через элементы ;

j = 2  через элементы ;

j = 3  через элементы ;

j = 4  через элементы .

Таким образом, m = 4, k = 2, l = 0 ¸2. Рассмотрим функционирование системы по первому пути: j = 1. При этом обязательно должны работать элементы , но могут работать и элементыили один из них. Вычислим члены внутренней суммы (2.55), полагая= 1, так как j = 1. Эти слагаемые имеют следующий вид:

Для краткости здесь и далее опущены обозначения зависимости функций от t. Аналогичным образом при j = 2 находим внутреннюю сумму членов, для которых = 1, так как их не было при j = 1:

.

Для повторяющегося на этом пути члена . Для j = 3 и j = 4 имеется лишь по одному члену внутренней суммы с коэффициентами = 1. Это члены исоответственно.

Осуществляя внешнее суммирование в выражении (2.55), получим

Подставив в это выражение (2.30), после соответствующих преобразований получим , что вполне согласуется с (2.52) и (2.54).

Если принять, что при t = T , то без резервирования функций, а с резервированием(соответственнои). Это свидетельствует о том, что резервирование существенно повышает надежность системы.

Вероятность безотказной работы системы можно найти исходя из (2.39):

,

(2.56)

где

(2.57)

называется интенсивностью отказов системы, состоящей из n элементов в соответствии с (2.51).

Среднее время отказов такой системы будет

.

(2.58)

Здесь  интенсивность и среднее время безотказной работы i-го элемента системы S.

Вероятность безотказной работы системы, состоящей из m

однотипных элементов, соединенных неразрывно, при = const

.

(2.59)

При этом

.

(2.60)

В случае, когда различны, в (2.60) вместоподставляют величину.

Интенсивность отказов такой системы определяется через :

.

(2.61)

Пример 2.8. Определить среднее время безотказной работы системы, надежностно-функциональная схема которой приведена на рис.2.4, еслиприt =T = 1000 ч.

Решение. Для элементов из (2.39)

.

Тогда из (2.60)

,

a .

Для элементов

.

Тогда из (2.60)

a .

В соответствии с (2.57) имеем

, а .

В условиях нормального функционирования система после отказов ее элементов имеет способность восстанавливаться. Для восстановления системы требуется определенное время. В связи с этим показателями функциональной надежности могут служить:

 суммарная продолжительность безотказной работы (суммарная наработка)

;

(2.62)

 суммарное время восстановления

,

(2.63)

где r  число отказов системы за рассматриваемый период функционирования;  отрезки времени безотказной работы между двумя отказами;  отрезки времени восстановления системы после каждого отказа.

случайные величины, зависящие от множества различных факторов. Для невосстанавливаемых систем . Значения математических ожиданий, определенных в процессе функционирования или специальных испытаний по выборкам, позволяют получить один из возможных показателей надежности функционирующей системы –коэффициент готовности

,

(2.64)

а также коэффициент внутреннего простоя

(2.65)

и коэффициент профилактики

(2.66)

Пример 2.9. Для системы, НФС которой представлена на рис. 2.4, установлено, что . Найти коэффициенты готовности, внутреннего простоя и профилактики.

Решение. Приняв (ч), на основании (2.64) – (2.66) получим:.

Задания для самостоятельной работы

1. На рис.2.5 представлена НФС системы, предусматривающая резервирование некоторых элементов.

Рис.2.5. Надежностно-функциональная схема с резервированием

Определите вероятность безотказной работы системы без резервирования и с резервированием, если известно, что при,,,,Определите среднее время безотказной работы системы, еслиТ= 6000 ч.

2. Установите зависимость между величиной наработки на отказ элемента (см. (2.49)) и математическим ожиданием суммарной наработки системы.

3. Определите коэффициент готовности таких систем, как ребенок, взрослый человек, студент. Сравните эти показатели с коэффициентом готовности технической системы, рассмотренной в примере 2.9.