- •2.1.2. Определение количества информации
- •2.2. Основы теории измерений
- •2.3. Основы теории надежности
- •2.3.1. Определение количественных характеристикнадежности элементов
- •Дисперсия времени отказа
- •2.3.2. Определение надежности системы
- •2.4. Системы массового обслуживания
- •2.4.1. Основные понятия, используемые в системахмассового обслуживания
- •2.4.2. Расчет системы массового обслуживания
- •2.5. Основы теории кодирования и передачи
- •2.5.1. Формирование экономичного кода алфавита
- •2.5.2. Определение характеристик канала
- •К р
- •106 107
2.4. Системы массового обслуживания
2.4.1. Основные понятия, используемые в системахмассового обслуживания
В окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с работой своеобразных систем, называемых системами массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, билетные кассы, ремонтные мастерские, информационные системы, вычислительные устройства и т.д.
Каждая СМО состоит из определенного количества обслуживающих единиц каналов обслуживания. Каналами могут быть: линии связи, кассиры, продавцы, устройства ЭВМ и др. СМО могут быть одноканальными и многоканальными.
Всякая СМО предназначена для обслуживания потока заявок (или требований), поступающих от одного или нескольких источников в случайные моменты времени, например звонков в справочную службу телефонной станции. Обслуживание заявки продолжается какое-то случайное время , после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки.Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается большое число заявок (они будут становиться в очередь либо покидать СМО необслуженными, т.е. получать отказ); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать. СМО можно представить в виде схемы (рис. 2.6).
4
0 0 0...0 0 0 0...0 ...
2 3 5
1
Рис.2.6. Схема работы системы массового обслуживания
В соответствии с представленной схемой СМО включает в себя следующие элементы: 1 источники заявок; 2 входной поток заявок; 3 очередь заявок на обслуживание, которых может быть одна или несколько; 4 узел обслуживания, включающий один или несколько параллельно работающих каналов; 5 выходящий поток обслуженных заявок.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты прихода новой заявки или окончания обслуживания очередной.
Системы массового обслуживания делятся на типы по ряду признаков.
1. По условию ожидания начала обслуживания заявки:
СМО с отказами, у которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает систему необслуженной;
СМО с очередью, у которых заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной;
СМО с ограниченной длиной очереди, у которых заявки получают отказ, если количество мест в очереди на обслуживание исчерпано;
СМО с ограниченным временем ожидания, у которых срок пребывания каждой заявки в очереди ограничен.
2. По дисциплине обслуживания заявок:
в порядке поступления;
в случайном порядке;
обслуживание с приоритетом, когда заявки определенного типа обслуживаются вне очереди.
3. По месту нахождения источников заявок:
открытые СМО, в которых характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии находится сама СМО (сколько каналов занято);
замкнутые СМО, в которых характеристики потока заявок зависят от состояния СМО; обычно это происходит, когда источники заявок находятся внутри самой СМО.
Для описания СМО введем следующие обозначения:
k |
число заявок в СМО (в очереди и узле обслуживания); |
s |
число заявок в очереди; |
число заявок в узле обслуживания; | |
n |
число каналов (устройств обслуживания); |
r |
число незанятых каналов. |
Очевидно, что k = + s, n =+ r.
В большинстве случаев поток требований, поступающих в систему, можно считать простейшим пуассоновским потоком, поэтому вероятность поступления m требований за время t
.
Для полного описания потока достаточно знать параметр математическое ожидание числа заявок, поступающих в систему в единицу времени (интенсивность потока заявок).
Время обслуживания заявки каналом можно рассматривать как случайную величину, имеющую показательный закон плотности распределения
,
где математическое ожидание числа заявок, обслуженных каналом в единицу времени (интенсивность обслуживания); 1/ математическое ожидание времени обслуживания. Если узел обслуживания состоит из n > 1 одинаковых устройств, то − математическое ожидание числа требований, обслуженныхn каналами за единицу времени. Отношение называюткоэффициентом загрузки системы (или приведенной интенсивностью потока заявок).
Согласно формуле Литта среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок:
. |
(2.67) |
Точно таким же образом среднее время пребывания заявки в очереди связано со средним числом заявок в очереди:
. |
(2.68) |
Формальное описание СМО можно выполнить с помощью цепи Маркова, соответствующей схеме гибели и размножения. Расчет финальных вероятностей цепи Маркова позволяет определить вероятность того, что в системе находится k заявок. Для систем с отказами вероятность того, что число заявок в системе равно числу n каналов обслуживания, соответствует вероятности отказа очередной заявки: .
Теория массового обслуживания позволяет установить зависимость вероятностных характеристик СМО от интенсивности потока заявок, производительности и числа каналов и т.д. и часто включает экономический аспект. Например, стремятся найти наименьшую полную стоимость C потерь, связанных со временем ожидания заявок на обслуживание в очереди и временем простоя каналов обслуживания:
, |
(2.69) | |
где |
стоимость единицы времени ожидания одной заявки; стоимость единицы времени простоя одного канала. |
Характеристиками эффективности СМО являются:
А абсолютная пропускная способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Q относительная пропускная способность, т.е. средняя доля пришедших заявок, обслуженных системой;
среднее число занятых каналов.