- •2.1.2. Определение количества информации
- •2.2. Основы теории измерений
- •2.3. Основы теории надежности
- •2.3.1. Определение количественных характеристикнадежности элементов
- •Дисперсия времени отказа
- •2.3.2. Определение надежности системы
- •2.4. Системы массового обслуживания
- •2.4.1. Основные понятия, используемые в системахмассового обслуживания
- •2.4.2. Расчет системы массового обслуживания
- •2.5. Основы теории кодирования и передачи
- •2.5.1. Формирование экономичного кода алфавита
- •2.5.2. Определение характеристик канала
- •К р
- •106 107
2.3.1. Определение количественных характеристикнадежности элементов
Допустим, что при отсчете времени работы элемента от t = 0 при t = T произойдет отказ. Тогда Т определим как время отказа. Представим P(t) как вероятность того, что в течение времени t T отказа не произойдет. Р(t) называют вероятностью безотказной работы. Вероятность события, противоположного рассмотренному и несовместимого с ним, когда t T, называют вероятностью отказа Q(t):
Q(t) = 1 – P(t). |
(2.30) |
Вероятность безотказной работы P(t) является непрерывной убывающей функцией времени, вид которой (рис.2.2) определяется условиями возникновения отказа в системе, т.е. траекторией (t).
P(t) f(t)
Q(t) P(t)
t t
T t = Т
Рис.2.2. Вероятность безотказной работы |
|
Рис.2.3. Вероятность отказа |
Очевидно лишь, что Р(0) = 1, Р () = 0. Тогда из (2.3) следует, что отказ исключен лишь при t = 0, когда P(t) = 1 и Q(t) = 0. Отказ возможен при всех значениях t > 0, хотя при малых t вероятность его мала.
Время отказа как непрерывная случайная величина характеризуется функцией плотности вероятности f(t). При этом вероятность безотказной работы при T t
, |
(2.31) |
а вероятность отказа
. |
(2.32) |
Площадь под кривой f(t) (рис.2.3), равная 1, разделена на две части ординатой, соответствующей абсциссе t. Площадь слева от t численно равна Q(t), а справа Р(t).
Из (2.32) следует, что вероятность отказа является функцией распределения Т, т.е.
Q(t) = F(t), |
(2.33) |
тогда
. |
(2.34) |
Из (2.30) и (2.34) находим
. |
(2.35) |
Время отказа характеризуется средним из всех значений, которые оно может получать при наблюдении множества однотипных элементов. Среднее время безотказной работы при t 0 есть математическое ожидание1.
. |
(2.36) |
Определим средний функциональный ресурс невосстанавливаемых элементов. Если представить, что группа однотипных элементов входит в состав одной системы и отказы в этой группе не устраняются, то интенсивность отказов этих элементов
. |
(2.37) |
Из (2.37) следует
. |
(2.38) |
При (t) = const, что соответствует режиму нормального функционирования системы,
, |
(2.39) |
а
, |
(2.40) |
т.е. имеет место экспоненциальное распределение времени отказов. Подставляя (2.39) в (2.36), получим
. |
(2.41) |
Это означает, что постоянная интенсивность отказов =const равна средней частоте отказов
. |
(2.42) |
Из (2.40) и (2.42) следует, что
. |
(2.43) |
Приняв в (2.43) t = , получим , т.е. математическое ожидание времени отказа для экспоненциального распределения определится как время, в течение которого вероятность безотказной работы уменьшится до 0,37, т.е. в е раз.
Среднее время безотказной работы является лишь одной из численных характеристик случайной величины времени безотказной работы Т (наработки). Для исчерпывающей характеристики Т необходимо знать еще и дисперсию времени отказа или его среднее квадратичное отклонение.