книги из ГПНТБ / Знаменский М.А. Измерительные работы на местности пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов

Глава I

ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Геодезия и ее значение

Измерительные работы на местности, которые применяются при преподавании математики и географии в советской средней школе, используют данные отраслей знания, называемых геоде­ зией и топографией.

Слово «геодезия» в переводе на русский язык обозначает «землеразделение» (по-гречески pi)— земля и глагол Satopai— разде­ лять, делить на части).

Приемы землеразделения возникли в глубокой древности в связи с удовлетворением практических потребностей человека. Во всяком случае, в Египте задолго до начала нашей эры были известны простейшие геодезические приемы. Ими пользовались при разделении прибрежной полосы Нила на участки и внесении исправлений в границы участков, что приходилось делать в свя­ зи с разливом Нила.

Вдальнейшем геодезия как наука развивалась параллельно

сразвитием математических и физических наук.

Внастоящее время геодезия ставит своей задачей изучение пространственных соотношений между отдельными частями зем­ ной поверхности для установления формы и размеров этих частей, а также для определения формы и размеров Земли в целом. Для выполнения этих задач на поверхности Земли производятся изме­ рения длин линий, углов и разностей высот отдельных точек. По­ лученный в результате измерений числовой материал подвергает­ ся математической обработке. Обработанные геодезические изме­ рения во многих случаях являются основой для графического изображения частей поверхности Земли на бумаге.

Часть геодезии, занимающаяся различными видами съемок на поверхности Земли с целью подробного изучения земной поверх­ ности в геометрическоги отношении и составления топографиче­ ских карт и планов, называется топографией. Слово «топогра­ фия» в переводе на русский язык с греческого обозначает «описа­ ние местности» (тбкоС — местность, ppa<pco — пишу).

3

Часть геодезии, изучающая форму и размеры Земли в целом, называется высшей геодезией.

Историческую связь в первоначальных эпохах их развития между геодезией и геометрией показывает слово «геометрия», ко­ торое в переводе с греческого обозначает «землеизмерение» (у^ — Земля .ргтргш — измерение). Поэтому геодезию иногда называют практической геометрией и землемерием *.

Геодезические измерения и съемкдг в недрах Земли при их раз­ ведке и разработке выделились в особую отрасль знания, которая получила название маркшейдерии (по немецки Mark — граница, scheiden — распознавать).

Геодезия имеет громадное значение для развития народного хозяйства и техники. Грандиозное социалистическое строитель­ ство, свидетелями которого мы являемся, развертывается на опре­ деленной территории, и размещение на ней объектов строительст­ ва в первую очередь связано с производством соответствующих геодезических работ. Проекты Большой Волги, Ангарстроя, строи­ тельных площадок новых заводов, трасс железных и шоссейных дорог,, освоения целинных и залежных земель, постройки новых городов, горные разработки и другие работы не могли бы быть созданы без тщательного ознакомления с размерами и характе­ ром поверхности той территории, на которой осуществляется проект. Для этого необходимо предварительно произвести соот­ ветствующие геодезические работы.

§ 2. Значение измерительных работ на местности при изучении математики в свете политехнического обучения

Происхождение и первоначальное развитие геометрии срязано с применением измерений на поверхности земли, необходимых человеку для удовлетворения его потребностей. Поэтому исполь­ зование измерительных работ на местности с их своеобразными приемами и методикой имеет существенное значение при препода­ вании геометрии и тригонометрии в советской средней школе в свете политехнического обучения. Измерительные работы на мест­ ности дают более глубокое понимание геометрических понятий. Па место теоретического, книжного, хотя бы и оживленного при­ менением наглядных пособий изложения геодезия дает простую, увлекательную и целесообразную форму работы, в процессе кото­ рой воплощаются и оживают многие идеи геометрии и тригоно­ метрии. Политехническое обучение требует единства теории и практики. Математика, корни происхождения которой связаны с отражением количественных и пространственных соотношений объективного мира, в своем последующем развитии отрывается от

назван «Землемерие (геодезия)». Гос. изд. сельскохоз. лит. 1953,

4

абстракции самостоятельно, вновь применяя полученные резуль­ таты к явлениям и процессам реального мира. Это создает опре­ деленные трудности в установлении связи теории с практикой в преподавании математики, так как не каждое новое математиче­ ское положение можно извлечь из соотношений объективного ми­ ра, доступных учащемуся, и не каждый новый результат матема­ тической теории может быть непосредственно использован для решения конкретной задачи, понятной учащемуся без дополни­ тельных объяснений из других областей знания или техники. По­ этому выбор конкретных приложений математики преподавате­ лем должен производиться осмотрительно и осторожно, чтобы математическая сущность не тонула в технических подробностях и чтобы это не требовало от учащихся затраты большого количе­ ства времени. С этой точки зрения измерительные работы на мест­ ности дают наиболее простые и естественные приложения геомет­ рии и тригонометрии. Они создают в сознании учащегося мостик между книжным геометрическим пространством, полученным на основе изучения чертежей в книге, тетради и на классной доске, и реальным пространством. Поэтому использование измерений на местности при преподавании геометрии и тригонометрии широко рекомендовалось и рекомендуется в русской, советской и зару­ бежной методической литературе. К сожалению, до недавнего времени эти работы не были включены в программы математики, а только рекомендовались в объяснительных записках и поэтому медленно внедрялись в практику преподавания. Теперь они по­ степенно вводятся в программу и на их проведение отводятся специальные часы.

Выделение в программе особых часов облегчает проведение измерительных работ в практике преподавания, но не решает пол­ ностью вопроса об органической связи этого материала с курсами геометрии и тригонометрии. Может легко оказаться, что отдель­ ные полевые работы, проведенные учащимися, окажутся эпизода­ ми и иллюстрациями, мало связанными с курсами геометрии и тригонометрии. Между тем, как известно, отрыв практики от ос­ нов науки является грубым извращением идеи политехнического обучения. Поэтому связь эту необходимо проводить систематиче­ ски, а не только в момент производства нескольких работ осенью и весной.

При дальнейшем пересмотре учебников по геометрии и триго­ нометрии эта связь должна найти свое отражение. Методика этой связи еще недостаточно разработана, и здесь имеется большое по­ ле деятельности для творческой инициативы преподавателей.

Приведу несколько примеров. В первой теме геометрии в VI классе учащиеся знакомятся с прямой линией. При этом пре­ подаватель естественно стремится дать учащимся почувствовать наиболее отчетливо основное свойство, что прямая линия опреде­ ляется двумя точками, ей принадлежащими. Но, привыкая меха­ нически проводить прямую по линейке на классной доске или в

5

ученической тетради, ученик обычно мало обращает внимания на это основное свойство прямой. Несколько более глубокое понима­ ние появляется, если учитель вводит поверку края линейки прове­ дением двух линий по этому краю линейки между двумя точками с разных сторон. Но еще лучше, если учитель в это же время, не откладывая до проведения работы на местности, поставит перед учащимися вопрос о том, как определяется прямая на поверхнос­ ти Земли. Тогда учащиеся узнают, что прямая на поверхности Земли обычно не прочерчивается, а отмечается отдельными точ­ ками, в которых устанавливаются колышки — вехи, и что для оп­ ределения прямой достаточно двух точек. Отсюда возникает во­ прос, как найти дополнительные точки, принадлежащие опреде­ ленной прямой и лежащие внутри и вне отрезка, обозначенного двумя точками, и как найти пересечение двух прямых, каждая из которых обозначена двумя точками. В том же VI классе учащиеся знакомятся с понятием угла вообще и прямого в частности. Пря­ мой угол в это время строится при помощи чертежного треуголь­ ника. Пользуясь им, учащиеся овладевают приемами восставления и опускания перпендикуляра. Очевидно, в этот именно мо­ мент полезно говорить, с учащимися, как на поверхности Земли намечается линия, перпендйкулярная данной. В то же время уча­ щиеся знакомятся с транспортиром и измерением углов при его помощи. Но обычно эти измерения ограничиваются измерением углов на чертеже и не ставится вопроса о том, как измеряются углы между двумя линиями в пространстве. Полезно в это время предложить учащимся сделать ручной угломер (см. черт. 89) и показать, как при его помощи определяется угол между двумя направлениями в пространстве. Это содействовало бы более глу­ бокому освоению понятия угла, введя весьма полезное с точки зрения приложений геометрии понятие об угле зрения, и в то же время облегчило бы в дальнейшем понимание углоизмерительных инструментов.

На простой работе, проведенной в VI классе, следует показать, что в случае необходимости можно получить графически величи­ ну угла, не измеряя его в градусах. Иногда это делают при помо­ щи выкройки, снимаемой с модели. А как получить графически величину угла, под которым учащийся со своей парты видит клас­ сную доску? Для этого достаточно на любой доске, с листом бума­ ги на ней, положенной горизонтально, выбрать вершину угла и закрепить в ней булавку. Приложив к булавке линейку, напра­ вить ее край на левый обрез классной доски и прочертить каран­ дашом одну сторону, а затем направить на правый обрез доски и прочертить вторую сторону угла. Угол будет получен графиче­ ски. В дальнейшем это поможет лучше освоить идею шагомерной съемки, графического решения задач об определении недоступных расстояний и высот и съемки плана при помощи мензулы. При изучении планиметрии большое внимание уделяется решению за­ дач на построение при помощи циркуля и линейки. Известно, что

6

задачи на построение могут решаться при помощи других средств, например линейки со вспомогательной окружностью Штейнера, двусторонней линейки, одного циркуля и т. д. В целях практиче­ ского применения геометрии полезно использовать задачи на по­ строение для графического нахождения неизвестных величин по данным измерения. Это расширяет понимание учащимися значе­ ния графического метода.

Вопрос о делении площадей на части в соответствии с постав­ ленными условиями также дает возможность графического реше­ ния ряда задач.

Ряд задач на построение может выполняться непосредственно на поверхности Земли. Так, используя только приемы провешива­ ния прямых и измерения длин, можно построить угол, равный дан­ ному, построить углы в 90°, 60°, 30°, разделить угол пополам и даже на три равные части и решить другие задачи.

В VII классе учащиеся знакомятся с системой координат. В дополнение к обычным упражнениям на построение точек по за­ данным координатам можно ввести несколько упражнений на по­ строение плана местности по вычисленным на основании данных съемки координатам вершин. Это дает возможность говорить о том, как решают в производстве вопрос о построении плана ме­ стности. Одновременно проделанная работа покажет, как без зна­ ния специальных формул по чертежу возможно подсчитать пло­ щадь многоугольника, если координаты вершин его были опреде­ лены.

Приведенные примеры показывают, как широко может быть использован материал измерительных работ на местности, не от­ рывая прикладные вопросы от овладения основами науки, пока­ зывая мощь математической науки в разрешении практических задач и укрепляя основные математические понятия, закономер­ ности и приемы на конкретных приложениях.

§ 3. Форма Земли. Карта и план

Первое известное нам определение размеров Земли в предпо­ ложении, что она является шаром, было сделано александрий­ ским математиком Эратосфеном (275—194 гг. до начала нашей эры).

Два города в Египте, Александрия и Сиенна (теперь Ассуан), расположены примерно на одном меридиане. Эратосфен, зная, что в день летнего солнцестояния в Сиенне в полдень Солнце находит­ ся в зените, установил при помощи наблюдения над длиною тени, что в это же время зенитное расстояние Солнца в Александрии равно 1/50 части окружности. Зная, кроме того, по времени и ско­ рости движения торговых караванов расстояние от Сиенны до Александрии, он смог получить длину земного меридиана в 250 тыс. греческих стадий. Результат для того времени является достаточно точным.

7

В последующие эпохи измерения дуг меридианов и паралле­ лей неоднократно повторялись со все более и более увеличиваю­ щейся точностью.

Особенно улучшилась техника измерений в XVII веке, когда их. стали производить по способу, предложенному голландским ученым Снеллиусом и называемому способом триангуляции. Спо­ соб этот заключается в следующем: так как непосредственное из­ мерение на поверхности Земли расстояний в сотни километров за­ труднительно, то между двумя пунктами на возвышенностях ус­ танавливаются сигналы, образующие цепь треугольников (черт.1). Непосредственно на поверхности Земли с возможно большей степенью точности измеряется одна или несколько основ­

ных линий, называемых базисами. Кроме того, угломерными инстру­ ментами измеряются углы всех тре­ угольников; последнее к концу XVII века -стало возможным на весьма значительных расстояниях, так как для наблюдения сигналов .была при­ менена незадолго до этого изобре­ тенная зрительная труба с крестом нитей.

Длину дуги меридиана вычисля­ ли, решая треугольники при помощи

ну всего меридиана и длину земного радиуса.

Во второй половине XVII века Ньютон и Гюйгенс на основа­ нии теоретических соображений, а также наблюдений астроно­ мов (Рише на острове Кайенна и Галле на острове Святой Еле­ ны), показавших, что маятники их часов вблизи экватора колеба­ лись медленнее, чем в Париже и Лондоне, (причем замедление колебаний было большим, чем можно было ожидать от увеличе­ ния вблизи экватора центробежной силы), решили, что Земля должна быть сжата у полюсов. В результате этого сжатия длина дуги меридиана в один градус должна несколько увеличиваться с возрастанием широты. Однако измерения во Франции, произве­ денные Кассини по меридиану от Парижа на север до Дюнкерка и на юг почти до границ Испании, показали, что длина одного гра­ дуса меридиана в северной части меньше, чем в южной. Таким образом, это не подтверждало теоретических выводов Ньютона и Гюйгенса и, наоборот, приводило к мысли, что Земля имеет фор­ му, вытянутую к полюсам.

Для окончательного выяснения вопроса о форме и размерах Земли в XVIII веке (1735 г.) французская Академия наук органи­

8