3.8. Типовые звенья
Динамическим звеном называют устройство любого физического вида и конструктивного оформления, представленное определенным дифференциальным уравнением.
В соответствии с определением классификация динамических звеньев производится по виду дифференциального уравнения, а именно, по его порядку. Так как одними и теми же дифференциальными уравнениями могут описываться устройства любого типа (электрические, электромеханические, гидравлические, тепловые), то такое предположение позволяет использовать для проектирования различных устройств одинаковые подходы.
Любую систему можно представить в виде соединения типовых динамических звеньев. Число таких звеньев невелико и определяется типом нулей и полюсов.
Как следует из представления модели в форме пространства состояний, для реализации любой физически осуществимой передаточной функции достаточно двух типов звеньев: интеграторов и усилителей. Если степень числителя передаточной функции m превышает степень знаменателя n, то необходимо звено дифференцирующего типа.
В теории управления состав типовых звеньев несколько расширен, исходя из соображения удобства, необходимы звенья, моделирующие часто встречающиеся случаи, а также позволяющие представление передаточных функций общего вида последовательным и параллельным соединением типовых звеньев.
Большинство сиcтем может быть представлено совокупностью относительно звеньев с передаточными функциями невысокого порядка. Такие звенья называются типовыми.
Типовым называется такое звено, которое описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. К таким звеньям относятся:
безынерционное звено – звено нулевого порядка,
апериодическое звено – звено первого порядка,
интегрирующее звено – звено первого порядка,
дифференциальное звено – звено первого порядка,
колебательное звено – звено второго порядка.
3.8.1. Безынерционное звено
Уравнение движения для безинерционного звена имеет вид
.
Выполняя над этим уравнением преобразование Лапласа получаем выражение для передаточной функции звена следующего вида:
Для нахождения временных характеристик звена определим его реакцию на единичное ступенчатое воздействие. Изображение переходной функции определяется как
.
Выполняя
обратное преобразование изображения
переходной характеристики
,
получаем:
Выполняя
аналогичные преобразования над
изображением весовой функции, получаем
выражение для определения весовой
функции
.
Для построения частотных характеристик звена воспользуемся выражением для его комплексной передаточной функцией вида:
Исходя из этого, амплитудно-частотная характеристика звена представляется точкой на комплексной плоскости.
Логарифмическая частотная характеристика представляется прямой параллельной оси частот. Это следует из выражения для определения логарифмической частотной характеристики вида:
.
3.8.2. Апериодическое звено
Уравнение движения для безинерционного звена имеет вид
.
Выполняя над этим уравнением преобразование Лапласа получаем выражение для передаточной функции звена следующего вида:
Для нахождения временных характеристик звена определим его реакцию на единичное ступенчатое воздействие. Изображение переходной функции определяется как
.
Корни
характеристического уравнения
определяются
как
.
Выполняя
обратное преобразование изображения
переходной характеристики
получаем:
.
Выполняя аналогичные преобразования над изображением весовой функции
получаем
выражение для определения весовой
функции
.
П
ереходная
и весовая характеристики звена приведены
на рис. 3.27.
Рис. 3.27
Для построения частотных характеристик звена воспользуемся выражением для его комплексной передаточной функцией вида:
Исходя из этого, амплитудно-частотная характеристика звена определяется как:
.
Вещественная
и
мнимая
частотные
характеристики звена определяются как
АФЧХ звена определяется как
Выражение для расчета ЛАЧХ принимает вид:
.
.
Для построения асимптотической ЛАЧХ воспользуемся выражением вида:
.
На рис. 3.28 приведены амплитудно-фазовая и логарифмическая частотные характеристики безинерционного звена.
Рис. 3.28