5.7. Устойчивость систем

Для устойчивости замкнутой дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты в диапазоне 0    /T годограф характеристического полинома обошел в положительном направлении 2n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль и не пересекаясь сам с собой.

Годографы устойчивых дискретных систем второго и четвертого порядка показаны на рис. 5.13.

Как и отмечалось ранее, крайние точки годографовD(e^{j 0}) и D(e^{j }) являются вещественными и находятся на вещественной оси.

В качестве примера построим годограф для дискретного интегрирующего звена в системе с отрицательной обратной связью (рис. 5.14).

Передаточная функция разомкнутой системы

.

Передаточная функция замкнутой системы

.

Характеристический полином замкнутой системы

D(z) = z + kT – 1 = a₀z + a₁,

где a₀ = 1; a₁ = kT – 1. Полагаем z = e^jT при 0    /T. D(e^jT) = a₀ e^jT + a₁. График D(e^jT) показан на рис. 5.15. Он представляет собой полуокружность радиуса a₀ = 1 и с центром в точке a₁ = kT – 1.

5.8. Анализ качества

Перейдем к дискретно-непрерывной системе и покажем, как определяются коэффициенты ошибок на примере типовой одноконтурной системы с одним дискретным элементом. Как и для непрерывной системы рассмотрим установившиеся ошибки при отработке трех типовых воздействий: g(t) = g₀1(t), g(t) = g₀t1(t), g(t) = g₀t²1(t). Передаточная функция замкнутой системы по ошибке где.

1. Внешнее воздействие g(t) = g₀1(t). Его Z-изображение

Z-изображение ошибки .

Установившееся значение ошибки

.

Пусть - общий коэффициент передачи разомкнутой системы. Тогда

С₀ – коэффициент ошибки по положению. Он определяется таким же, как и для непрерывной системы, выражением. Из выражения для ошибки видно, что чтобы С() = 0, коэффициент передачи должен быть бесконечным. Это будет иметь место, если W₁W₂(z) содержат хотя бы один полюс z = 1. Например, в составе W₁W₂(z) имеется передаточная функция дискретного интегратора . Тогда.

2. Внешнее воздействие g(t) = g₀t1(t), .

Изображение ошибки

.

Установившиеся значение ошибки

Определим коэффициент ошибки по скорости как

,

где  добротность системы по скорости. Для системы астатической 1-го порядка, передаточная функция которой содержит один полюс z = 1, k_ = k/T. Для того чтобы установившееся значение ошибки было равно нулю, необходимо, чтобы C₁ = 0, т. е. k_ = . Это возможно, если W₁W₂(z) имеет два полюса z = 1.

3. Внешнее воздействие g(t) = g₀t²1(t), .

Изображение ошибки .

Установившееся значение ошибки

где  добротность системы по ускорению.

Из выражения видно, что установившаяся ошибка будет равна нулю, еслиk_a = , т. е. W₁W₂(z) иметь три полюса z = 1.

Замечание. Полученные выражения C₁ и C₂ справедливы только тогда, когда внешние сигналы g(t) представляют собой скачки скорости и ускорения соответственно.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение дискретных систем. Какова структура и классификация импульсных систем?

2. Расскажите о математическом аппарате исследования импульсных систем.

3. Сформулируйте теорему Котельникова-Шеннона. Поясните ее физический смысл и практическое значение при проектировании дискретных систем.

4. Поясните методы определения передаточных функций импульсных систем. Каковы особенности передаточных функций статических и астатических систем?

5. Каким образом определяются частотные характеристики импульсных систем?

6. Какими способами определяются переходные процессы в дискретных системах?

7. Сформулируйте условия устойчивости импульсных систем.

8. Каким образом оценивается точность работы импульсных систем?

9. Каков порядок синтеза цифровых систем? Перечислите методы определения передаточных функций корректирующих устройств. Укажите виды структурных схем цифровых фильтров.

10. Запишите стандартную форму уравнений в пространстве состояний. Поясните физический смысл уравнений.