4.1.2.2. Частотные критерии устойчивости

Среди частотных критериев устойчивости, используемых в практике анализа устойчивости непрерывных и дискретных систем автоматического управления, наибольшее признание получили критерий годографа характеристического полинома замкнутой системы (известный в отечественной литературе как критерий Михайлова) и критерий Найквиста, обеспечивающий определение устойчивости по виду частотных характеристик разомкнутой системы.

В основу названных выше критериев положено следствие из известного в теории функции комплексной переменной принципа аргумента. Оно устанавливает соответствие между числом корней в левой и правой полуплоскости и суммарным приращением аргумента вектора характеристического полинома замкнутой системы, при изменении частоты в диапазоне 0    . Рассмотрим это соответствие.

Характеристическое уравнение замкнутой непрерывной системы

D(s) = a₀sⁿ + a₁s^n-1 +  + a_n = 0,

где левая часть уравнения D(s) называется характеристическим полиномом. Его можно представить в соответствии с теоремой Безу следующим образом D(s) = a₀(s – s₁) (s – s₂) (s – s_i) (s – s_n), где s_i (i =1, 2, , n) – корни характеристического уравнения D(s) = 0; s_i = _i + j_i. На комплексной плоскости каждый корень может быть представлен вектором (рис. 4.2). Длина вектора , угол поворота от положительной вещественной полуоси равен аргументуArgs_i = arctg(_i/_i). Отдельные сомножители D(s) вида (s – s_i) могут быть представлены векторами, проведенными из точек s_i в точки s.

Положимs = j, тогда вектор (s – s_i) = (j - s_i) будет скользить своим концом по мнимой оси при изменении частоты +    .

Приращение аргумента, причем кореньs_i, расположенный в левой полуплоскости, обеспечивает приращение аргумента + (рис. 4.3, а), а корень, находящийся в правой полуплоскости, дает Args_i = =  (рис. 4.3, б).

Если общее число корней характеристического уравненияn, а в правой полуплоскости находится m корней, то суммарное приращение аргумента D(s)

.

Если изменять частоту только в положительном диапазоне 0    , то суммарное приращение аргумента D(s) будет в 2 раза меньше

.

Полученное соотношение положено в основу частотных критериев устойчивости непрерывных систем.

Критерий годографа характеристического полинома

На основании полученного в предыдущем параграфе соотношения для непрерывных систем и полагая, что в правой полуплоскости нет ни одного корня (m = 0), находим, что .

Отсюда вытекает следующая формулировка критерия.

Для устойчивости замкнутой непрерывной системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты в диапазоне 0     годограф характеристического полинома начинался на положительной вещественной оси и обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль и нигде не пересекаясь сам с собой.

Годографы устойчивых систем показаны на рис. 4.4, а, для неустойчивых систем на рис. 4.4, б.

Если систем находится на границе устойчивости, то годографD(j) проходит через начало координат.

Положим m = 0 в соотношении, записанном для дискретных систем, получим

,

откуда следует следующая формулировка критерия.

Для устойчивости замкнутой дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты в диапазоне 0    /T годограф характеристического полинома обошел в положительном направлении 2n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль и не пересекаясь сам с собой.

Годографы устойчивых дискретных систем второго и четвертого порядка показаны на рис. 4.5.

Как и отмечалось ранее, крайние точки годографовD(e^{j 0}) и D(e^{j }) являются вещественными и находятся на вещественной оси.