3. Задание на лабораторную работу

Даны две структурные схемы:

Рассчитать передаточные функции по управлению и возмущению каждой из схем.

По построенным характеристикам:

1. Определить, на что влияет положение звеньев в схеме.

2. Определить время переходного процесса.

3. Рассчитать перерегулирование.

4. Рассчитать коэффициент демпфирования.

5. Дать анализ устойчивости.

6. Определить ошибку системы.

7. Определить частоты среза.

Работа 3. Определение оптимальных настроечных параметров

ПИ- регулятора

1. Цель работы

целью работы является определение оптимальных настроечных параметров ПИ- регулятора по минимуму линейной интегральной оценки при ограничении на показатель колебательности М; определение влияния отклонений настроек регулятора от расчетных значений на качественные показатели системы.

2. Основные теоретические положения

Система автоматического управления с включенным регулятором может быть структурно представлена состоящей из двух динамических звеньев: объекта или неизменяемой части системы с передаточной функцией W_o(s) и регулятора W_p(s) (рис. 1).

W_p (s)

W_o (s)

f e u x

_

Рис. 1

Необходимые качественные показатели системы обеспечиваются выбором типа регулятора и определением его настроечных параметров. При разработке систем управления обычно задаются: точность системы в установившемся режиме - допустимая статическая ошибка  (или отсутствие статической ошибки) и критерии качества, определяющие переходный процесс в системе. В качестве такого критерия в данной работе используется линейная интегральная оценка. Параметры регулятора определяются из условия обеспечения минимума линейной интегральной оценки.

Типовые законы управления и выбор типа регулятора.

Типовые законы управления описываются следующими уравнениями.

1. Пропорциональный закон (П- регулятор).

Уравнение, описывающее пропорциональный закон управления,

u(t) = K_p e(t). (1)

Передаточная функция П- регулятора:

W(p) = K_p . (2)

П- регулятор имеет один настроечный параметр - коэффициент усиления К_р.

2. Пропорционально-интегральный закон (ПИ- регулятор).

ПИ- закон управления описывается уравнением

. (3)

Передаточная функция ПИ- регулятора

. (4)

ПИ- регулятор имеет два настроечных параметра - коэффициент усиления К_р и постоянную времени интегрирования Т_и (время изодрома).

3. Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон (ПИД- регулятор). Уравнение идеального ПИД- регулятора:

. (5)

Передаточная функция идеального ПИД- регулятора

. (6)

Точная реализация операции дифференцирования невозможна, поэтому реальный ПИД- регулятор имеет передаточную функцию:

. (7)

Здесь К_р - коэффициент усиления,

Т_и - постоянная времени интегрирования,

Т_д - постоянная времени дифференцирования,

Т₁  0,1Т_д .

4. Пропорционально-дифференциальный закон (ПД- регулятор).

Уравнение идеального ПД- регулятора:

(8)

Передаточная функция идеального ПД- регулятора:

(9)

Из-за невозможности выполнить операцию точного дифференцирования передаточная функция ПД- регулятора может быть реализована в виде:

, (10)

где .

Чтобы исключить статическую ошибку, нужно включить в систему регулятор, обладающий интегральными свойствами, т.е. ПИ- или ПИД-регулятор.

Определение настроечных параметров регулятора из условия минимума линейной интегральной оценки.

Линейная интегральная оценка определяется выражением:

, (11)

где е_св(t) - свободная (динамическая) составляющая ошибки переходного процесса. Если система устойчива, то , интегралJ₁ стремится к конечному значению, равному площади, заключенной между х_уст и x(t), где x(t) - переходная функция системы (рис. 2)

Рис. 2

На основании графика рис. 2 динамическая составляющая ошибки e_св(t) может быть определена так:

е_св(t) = x_уст1(t) - x(t). (12)

Если для е_св(t) найдено изображение по Лапласу Е_св(s), то

. (13)

Учитывая, что преобразование по Лапласу выражения (12) имеет вид,

. (14)

то

. (15)

Здесь W_з.с.(s) - передаточная функция замкнутой системы.

Следует отметить, что линейная интегральная оценка применима к монотонным или апериодическим процессам, поэтому при минимизации J₁ по какому-либо параметру системы необходимо еще наложить ограничение на колебательность переходного процесса. Этими показателями могут быть: показатель колебательности М, запас устойчивости по фазе и амплитуде. Наиболее удобно использовать при синтезе систем показатель колебательности М, так как для хорошо демпфированных систем показатель колебательности выбирается в узких пределах М = 1,1  1,5.

От показателя колебательности системы зависит перерегулирование переходного процесса. В хорошо спроектированной системе перерегулирование, как правило, не должно превышать 20%, при этом показатель колебательности не должен превышать величины 1,2.

x _уст

e(t)

В данной лабораторной работе определяются оптимальные настроечные параметры ПИ-регулятора (4), обеспечивающие минимум линейной интегральной оценки при ограничении на показатель колебательности М  М_зад.

Передаточная функция объекта в общем случае имеет вид:

(16)

где: Q(s) = b₀s^m + b₁s^m-1 + …+ b_m-1s +1 ,

S(s) = a₀sⁿ + a₁s^n-1 + … + a_n-1s + 1

Передаточная функция замкнутой системы с ПИ-регулятором:

(17)

и .

Тогда в соответствии с выражением (15)

. (18)

Следовательно, для минимизации J₁ нужно определить К_р и Т_и таким образом, чтобы обеспечить минимум отношения 1 /K_p (или максимум К_р ) при ограничении М  М_зад.

В общем схема определения оптимальных настроечных параметров ПИ-регулятора сводится к следующему. На основании заданного перерегулирования  по диаграммам определяют допустимое значение показателя колебательности М_зад. Далее задаются рядом значений постоянной интегрирования Т_и и для каждого Т_и определяют значение коэффициента усиления регулятора К_р, при котором М = М_зад. После этого строится график зависимости К_р = f(T_и) при М = М_зад. Максимум полученной зависимости определяет оптимальные значения настоечных параметров ПИ-регулятора.