- •Математическая экономика
- •230700 «Прикладная информатика»
- •Предисловие
- •1. Правила и порядок выполнения контрольНой рабоТы
- •2. Тематический план дисциплины
- •5. Варианты контрольНой рабоТы Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 0
- •6. Указания по выполнению контрольной работы
- •6.1. Модель поведения потребителя
- •6.2. Модели поведения производителей
- •Оптимизация производственной функции в условиях ограничений на ресурсы
- •I способ. Использование функции Лагранжа.
- •II способ. Приведение функции к одной переменной.
- •Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции
- •6.3. Поведение фирм на конкурентных рынках
- •6.4. Статическая модель линейной многоотраслевой экономики
- •Список литературы
- •Приложение 1
- •Приложение 2
- •Содержание
- •Математическая экономика
- •230700 «Прикладная информатика»
- •650992, Г. Кемерово, пр. Кузнецкий, 39
6. Указания по выполнению контрольной работы
6.1. Модель поведения потребителя
Теория потребления — одна из основополагающих дисциплин микроэкономики. Она исследует экономические решения, в особенности в области потребления частными экономическими агентами.
Теория потребления основывается на допущении, что агент стремится к удовлетворению всех своих материальных и нематериальных потребностей. Удовлетворение потребностей является главным смыслом экономической деятельности. Чем лучше оно удается агенту, тем выше польза как экономическое понятие.
Благо в теории потребления — любой объект потребления, доставляющий определенное удовлетворение потребителю. Блага потребляются, как правило, в определенных наборах. Набор благ - совокупность конкретных видов благ в определенных объемах, потребляемых в данный период.
Необходимыми предпосылками теории потребительского выбора являются следующие аксиомы.
Аксиома полной упорядоченности предпочтений потребителя. Эта аксиома предполагает, что потребитель сам должен принимать решения относительно потребления и осуществлять их.
Аксиома транзитивности предпочтений потребителя. Чтобы принять определенное решение и реализовать его, потребитель должен последовательно переносить предпочтения с одних благ и их наборов на другие. Предположение о транзитивности гарантирует рациональность (согласованность) предпочтений. В ином случае поведение потребителя противоречиво. В этой связи говорят, что «предпочтения свернулись в кольцо», т. е. изменились вкусы.
Аксиома о ненасыщаемости потребностейгласит, что потребители всегда предпочитают большее количество любого блага меньшему (или «больше всегда лучше»).
Эти три предпосылки необходимы для того, чтобы определить функцию полезности.
Функция полезности — это целевая функция действий потребителя в потребительском выборе, выражающая процесс упорядочивания выбираемых потребителем наборов благ до уровня удовлетворения потребностей.
Полезность выражает меру удовлетворения, которое получает субъект от потребления благ. Полезность понятие сугубо индивидуальное: полезное для одного субъекта может быть бесполезно для другого. Полезность зависит от потребительских свойств благ и от самого процесса потребления, от того, кто и как удовлетворяет свои потребности. Полезность имеет свойство порядковой измеримости, когда альтернативы могут быть ранжированы, но не имеет свойства количественной измеримости.
Обозначим функцию полезности:
, ,,
где индекс - вид блага,,- количество-го блага;
числовое значение функции полезности.
Тогда предельная полезность — это приращение степени удовлетворения (полезности) при потреблении или использовании дополнительной единицы блага за определенный период времени. Предельной полезностью называют полезность, равную приращению общей полезности вследствие покупки дополнительной единицы данного блага:
, .
Свойства функции полезности:
, ;
, ;
, ,.
Поверхность безразличия описывается уравнением , гдеC– любая константа. Приn= 2 имеем, откуда.
Предельная норма замещения товаров выражается через отношение их предельных полезностей, взятое со знаком минус:
.
Модель поведения потребителя
Покупатель при выборе приобретаемых благ обладает определенными индивидуальными предпочтениями, но он ограничен в удовлетворении своих предпочтений бюджетным ограничением. Бюджетное ограничение — это фактор, ограничивающий покупательные возможности субъекта в виде цен на блага или уровня дохода.
Составим математическую модель задачи поведения потребителя для двух благ в виде:
1. Переменные ,- вектор благ;
постоянные величины - цены на блага;
- доход потребителя.
2. Целевая функция: ;
3. Система ограничений (бюджетное ограничение):
Получили задачу на условный экстремум.
Решение этой задачи может быть выполнено несколькими способами.
Геометрический метод решения. Заключается в нахождении координат точки касания кривой безразличия с бюджетным ограничением.
Аналитическое решение для задачи с двумя переменными – приведение целевой функции к одной переменной (значения производных основных функций можно посмотреть в приложении 1).
Аналитическое решение (может быть использовано и для задачи с любым количеством переменных) - введение функции Лагранжа:
.
Рассмотрим применение всех способов далее на примерах.
Пример 1.Проверить, может ли функция:, приx1>1;x2>1 являться функцией полезности.
Решение.
Если x1>1;x2>1, то.
; .
.
.
Ответ:условия функции полезности выполнены,можно использовать как функцию полезности.
Пример 2.Построить карту безразличия для функции полезности:,x1>0;x2>0.
Решение.
1. , (C =const);или
Рис. 1. Карта безразличия функции
Графически это гиперболы в первом квадранте, например
а) при C= 1 получаем;
б) при С= 2 получаем(см. рис. 1).
Пример 3.Найтигеометрическое решениезадачи максимизации индивидуальной функции полезностипри наличии бюджетных ограничений:,.
Решение.
1. Из приp1= 1,p2= 3 иJ= 5 получаем:
– это бюджетная прямая.
Запишем ее уравнение в отрезках .
2. Построим на системе координат (см. на рис. 2) бюджетную прямую – прямую АВ икривую безразличия, то есть.
Рис. 2. Геометрическое решение
3. Решим систему уравнений графически.
откуда – гипербола.
1) приС = 1;
2) при;
3) при.
Ответ:оптимальный набор благx1 2; x2 1.
Пример 4.Найтианалитическое решениезадачи максимизации индивидуальной функции полезностипри наличии бюджетного ограничения , если иJ=5.
Решение.
Известны:
Требуется найти значения .
Приведенем функцию полезности к зависимости от одной переменной.
Из выразимx2:.
Подставим найденное значение x2 в целевую функцию. Получим функцию одного аргументаx1:
.
Исследуем на экстремум с помощью производной по стандартной схеме:
;
если ;
;
.
Для проверки вида экстремума можно использовать вторую производную: , следовательно, это точка максимума.
Находим .
Ответ: оптимальный набор благ,.
Пример 5.Найти решение задачи максимизации функции полезностипри наличии бюджетного ограничения , если иJ=5 с помощьюфункции Лагранжа.
Решение.
Известны:
Требуется найти значения .
Составим функцию Лагранжа:
.
Найдем первые частные производные функции по переменными приравняем их к нулю:
Разделим поэлементно первое уравнение на второе, получим:
, откуда следует
или
.
Используя третье равенство в последней системе уравнений, получим:
;
;
.
.
Ответ: оптимальный набор благ,.