6.2. Модели поведения производителей

Производитель в экономическом анализе может решать различные задачи, связанные как с объемом производимой продукции, так и с прибылью, издержками и пр. Введем основные обозначения. Пусть в общем виде производственная функция:

,

где - вид ресурса (сырья), ,

- количество ресурса (сырья);

- количество выпускаемой продукции (предложение).

Свойства производственной функции:

1. или, например, .

2. - предельная производительность труда положительна.

3. - предельные производительности убывают.

4. - при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает.

5. При неограниченном увеличении одного из ресурсов, например, выпуск растет неограниченно, т.е.

.

6. - это свойство означает, что производственная функция является однородной функцией степени

Изокванты описываются уравнением , гдеC– любая константа. Приn= 2 имеем, откуда. Линия уровня производственной функции называется изокостой.

Величина называется предельной нормой замещения ресурсаiна ресурсj(MRTS).

Доходом(выручкой)Rфирмы в определенном временном периоде (например, в определенном году) называется произведение общего объемаqвыпускаемой фирмой продукции на рыночную цену единицы этой продукции.

ИздержкамиСфирмы называют общие выплаты фирмы в определенном временном периоде за все виды затрат, например,

,

где х₁их₂– объемы затрачиваемых (используемых) фирмой ресурсов (факторов производства),

р₁ир₂– рыночные цены соответственно на эти ресурсы (факторы производства).

ПрибыльюПфирмы в определенном временном периоде называется разность между полученным доходомRи ее издержками производстваС, т.е.

.

Последнее равенство есть выражение прибыли фирмы в терминах затрачиваемых (используемых) ресурсов.

Оптимизация производственной функции в условиях ограничений на ресурсы

Представим алгоритм минимизации функции издержек.

1. Переменные , - количество ресурса (сырья) вида ,.

2. Целевая функция издержек на использование ресурсов: . Здесь- цены ресурса (сырья).

3. Система ограничений: , где– заданный объем выпускаемой продукции (число).

Аналитическое решение этой задачи может быть выполнено введением функции Лагранжа: .

Представим алгоритм максимизация выпуска продукции:

1. Переменные , - количество ресурса (сырья) вида ,.

2. Целевая функция производства продукции: .

3. Система ограничений по издержкам: .

Аналитическое решение этой задачи может быть выполнено введением функции Лагранжа: .

Пример 6.Как изменить соотношение затрат на производство, чтобы добиться максимума выпуска продукции, если производственная функция задана соотношением

Q(L, К) = 2L + К + KL,

затраты факторов составляют L =5, К = 5 и могут выражаться дробными числами, цены факторов заданы: ; при неизменной сумме затрат, равной 75?

Решение.

Решаем задачу на максимум производственной функции:

при ограничении .

I способ. Использование функции Лагранжа.

Составляем функцию Лагранжа:

.

Находим решение системы уравнений:

Следовательно, надо увеличить затраты капитала на 2,5 единицы и сократить затраты труда на 1,25 единицы.

II способ. Приведение функции к одной переменной.

1. Из ограничения выразим:

.

2. Подставим найденное значение в целевую функцию, получим функцию одного аргумента:

.

3. Исследуем полученную функцию на экстремум:

.

если ; ;.

4. .

Ответ:надо увеличить затраты капитала на 2,5 единицы и сократить затраты труда на 1,25 единицы.