Максимизация прибыли производителя при фиксированном объеме продукции

В случае несовершенной конкуренциифирма имеет возможность влиять на цену продукции путем варьирования выпуска своей продукции (монополия), либо на цену затрат путем варьирования своих покупок данного вида затрат (монопсония), так что

,

.

Тогда задача фирмы в условиях несовершенной конкуренции может быть представлена в виде:

где есть производственная функция (выпуск фирмы).

В условиях совершенной конкуренциицена на единицу продукции фирмы не зависит от объема производстваqданной фирмы, а определяется рынком и постоянна, то есть.

Следовательно, доход фирмы будет равен доход фирмы является линейной функцией объема выпускаq.

В условиях совершенной конкуренции оптимальный уровень выпуска является решением задачи

Необходимое условие экстремума функции (условие первого порядка), чтобы производная прибыли Ппо переменнойqравнялась нулю:

.

Решение этого уравнения приводит к тому, что цена единицы выпуска равняется предельным издержкам:

.

Достаточное условие экстремума функции (условие второго порядка) утверждает, что предельные издержки должны возрастать в этой точке:

то есть кривая МС– вогнута (выпукла вниз).

Запишем прибыль производителя в общем виде: , где– прибыль,

–выручка,

– для рынка совершенной конкуренции;

– для рынка монополии;

–совокупные издержки, ,

где – переменные издержки; – постоянные издержки.

Тогда задачу максимизации: решаем стандартными методами, известными из курса дисциплины «Математический анализ».

Может быть использована следующая схема решения задачи:

1) находим производную ;

2) приравниваем ее к нулю: = 0;

3) находим значения – точка экстремума (проверяя, что это точка максимума);

4) – рассчитываем максимальную прибыль.

Пример 7.Общие издержки фирмы для производства продукции в объеме Q единиц определяются следующей зависимостью:

TC(Q)= 31 + 6∙Q+ 5∙Q².

Фирма может реализовать любой объем произведенной продукции. При этом объем реализации продукции не влияет на рыночную цену P₀= 216. Определить максимизирующий прибыль объем производства (Q*) и соответствующую ему величину прибыли.

Решение.

По условию задачи любой объем выпускаемой продукции фирма может продать по действующей цене. Это позволяет определить функцию валовой выручки фирмы от продажи Qед. продукции:

TR(Q)=P₀∙Q= 216Q.

Прибыль, по определению, есть разница между валовой выручкой фирмы и общими издержками:

П(Q) =TR(Q)–TC(Q)= 216∙Q– (31 + 6∙Q+ 5∙Q²) =

= 210∙Q– 31 – 5∙ Q².

Исследуем данную функцию на экстремум. Для этого найдем первую и вторую производные:

, т.е. наблюдается вогнутость вверх.

Точкой глобального экстремума функции прибыли является точка Q* = 21, а вогнутость функции указывает на то, что эта точка – глобальный максимум. Таким образом, максимизирующий прибыль объем производства составляет 21 ед.

Максимальная прибыль при действующей рыночной цене составит:

П*(21) = 210∙21 – 31 – 5∙212 = 2174.

Ответ:оптимальный объем производства составляет 21 единицу, при этом прибыль максимальна и равна 2174 единицы.